Crecimiento y decrecimiento

Hallar los intervalos de crecimiento de $f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 4$.

Derivamos. $f'(x) = 3x^{2} - 6x$
Igualamos a cero y resolvemos. $3x(x - 2) = 0$, así que $x = 0$ y $x = 2$.
Esos dos puntos parten la recta en tres tramos. $x < 0$, $0 < x < 2$ y $x > 2$.
Probamos un valor de cada tramo en la derivada. $f'(-1) = 9 > 0$, $f'(1) = -3 < 0$, $f'(3) = 9 > 0$.
Traducimos los signos. Crece, decrece, crece.
Respuesta: crece en $(-\infty, 0)$ y en $(2, +\infty )$, decrece en $(0, 2)$

Mostrar que $f(x) = x^{3} + x$ crece siempre.

Derivamos. $f'(x) = 3x^{2} + 1$
Intentamos igualar a cero. $3x^{2} + 1 = 0$ no tiene solución real, porque $3x^{2}$ nunca es negativo.
Analizamos el signo directamente. Como $3x^{2} \geq 0$ siempre, sumarle $1$ da un número positivo para cualquier $x$.
Concluimos. No hay ningún tramo donde la derivada sea negativa, así que no hay ningún tramo donde la función baje.
Respuesta: crece en todo $\mathbb{R}$, sin máximos ni mínimos