El criterio de la primera derivada

Este criterio clasifica un punto crítico mirando cómo cambia el signo de la derivada alrededor de él.

Si la derivada pasa de positiva a negativa, la función venía subiendo y empieza a bajar: hay un máximo. Si pasa de negativa a positiva, venía bajando y empieza a subir: hay un mínimo.

Si el signo no cambia, no hay extremo. La función se aplanó un momento y siguió en la misma dirección.

La ventaja es que sirve siempre, incluso en puntos donde la derivada no existe, porque solo necesita el signo de los alrededores. Eso lo hace más general que el criterio de la segunda derivada.

Además la recta de signos que se arma para estudiar el crecimiento ya contiene toda la información: si se hizo ese trabajo, la clasificación de los extremos sale de leerla, sin cuentas nuevas.

Es el criterio que conviene usar por defecto en un estudio completo de funciones.

+ a - \to

máximo de

- a + \to

mínimo

Cuándo se usa

Cuando ya armaste la recta de signos de la derivada, porque ahí la clasificación sale de leerla. Es el único que sirve en puntos donde la derivada no existe.

Ejemplo 1

Clasificar los puntos críticos de $f(x) = x^{3} - 3x^{2}$ .

Derivamos y hallamos los críticos. $f'(x) = 3x^{2} - 6x = 3x(x - 2)$ , así que $x = 0$ y $x = 2$ .
Armamos los tres tramos y probamos un valor de cada uno. $f'(-1) = 9 > 0$ , $f'(1) = -3 < 0$ , $f'(3) = 9 > 0$ .
Analizamos $x = 0$ . El signo pasa de $+$ a $-$ : máximo local. La ordenada es $f(0) = 0$ .
Analizamos $x = 2$ . El signo pasa de $-$ a $+$ : mínimo local. La ordenada es $f(2) = 8 - 12 = -4$ .
Respuesta: máximo local en $(0, 0)$ y mínimo local en $(2, -4)$

Ejemplo 2

Clasificar el punto crítico de $f(x) = x^{3} + 2$ .

Derivamos y hallamos los críticos. $f'(x) = 3x^{2}$ , que se anula solo en $x = 0$ .
Probamos un valor a la izquierda. $f'(-1) = 3 > 0$ .
Probamos un valor a la derecha. $f'(1) = 3 > 0$ .
Comparamos. El signo es positivo de los dos lados: no cambia. La función sube, se aplana un instante en el origen, y sigue subiendo.
Respuesta: no hay extremo: $x = 0$ es crítico pero la función solo se aplana

Error típico

Suponer que si hay dos puntos críticos, uno tiene que ser máximo y el otro mínimo. Puede haber dos mínimos seguidos, o críticos que no son extremos. Hay que analizar el signo en cada tramo, no adivinar.

Practicar

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Otros subtemas de Aplicaciones de la derivada

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .