El estudio completo, paso a paso

El estudio completo junta todo lo de la unidad para describir una función y poder graficarla. Conviene hacerlo siempre en el mismo orden, porque cada paso se apoya en el anterior.

Primero el dominio, que dice dónde existe la función. Después las intersecciones con los ejes, que son puntos concretos del gráfico. Después las asíntotas, que dan el marco general por donde va a andar la curva.

Recién ahí se deriva. Con la derivada primera salen los intervalos de crecimiento y los extremos. Con la segunda, la concavidad y los puntos de inflexión.

El último paso es armar una tabla con todos los puntos importantes y sus valores, y recién después dibujar. Dibujar antes de tener la tabla lleva a gráficos que se contradicen con los cálculos.

Conviene chequear la coherencia al final. Si el estudio dice que hay un máximo pero el gráfico lo muestra como mínimo, hay un error en algún lado y conviene encontrarlo antes de entregar.

dominio

\to

cortes

\to

asíntotas

\to f' \to f'' \to

gráfico

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio pide estudiar y graficar una función. Seguí siempre el mismo orden: dominio, intersecciones, asíntotas, primera derivada, segunda derivada, tabla y recién ahí el dibujo.

Ejemplo 1

Estudiar $f(x) = x^{3} - 3x$ siguiendo los ocho pasos.

Dominio y cortes. Es un polinomio: dominio $\mathbb{R}$ . Corta el eje $y$ en $(0, 0)$ , y el eje $x$ donde $x(x^{2} - 3) = 0$ , o sea en $0$ y $\pm \sqrt{3}$ .
Asíntotas. Un polinomio no tiene ninguna.
Derivada primera y críticos. $f'(x) = 3x^{2} - 3 = 3(x-1)(x+1)$ , críticos en $x = \pm 1$ .
Crecimiento y extremos. Crece en $(-\infty,-1)$ y $(1,\infty )$ , decrece en $(-1{,}1)$ . Máximo en $(-1, 2)$ , mínimo en $(1, -2)$ .
Derivada segunda y concavidad. $f''(x) = 6x$ , se anula en $0$ . Cóncava hacia abajo antes, hacia arriba después: inflexión en $(0, 0)$ .
Respuesta: queda descripta por completo, lista para dibujar

Ejemplo 2

Estudiar el dominio y las asíntotas de $f(x) = x / (x - 2)$ .

Dominio. El denominador se anula en $x = 2$ , así que el dominio es $\mathbb{R} - {2}$ .
Cortes. $f(0) = 0$ , así que pasa por el origen. Y $f(x) = 0$ solo cuando el numerador es cero, o sea en $x = 0$ .
Asíntota vertical. En $x = 2$ , que es el valor excluido del dominio.
Asíntota horizontal. Los grados de arriba y abajo son iguales, así que el límite es el cociente de coeficientes principales: $y = 1$ .
Descartamos la oblicua. Como hay horizontal, no puede haber oblicua.
Respuesta: dominio $\mathbb{R} - {2}$ , asíntota vertical $x = 2$ y horizontal $y = 1$

Error típico

Saltarse el dominio y estudiar el signo de la derivada en tramos donde la función ni siquiera existe. Si el dominio excluye un punto, ese punto también parte la recta en tramos, aunque no sea crítico.

Practicar

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Otros subtemas de Aplicaciones de la derivada

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