Las otras indeterminaciones

L'Hôpital solo sirve para dos formas: cero sobre cero e infinito sobre infinito. Las demás indeterminaciones hay que llevarlas a alguna de esas dos antes de aplicarla.

Cuando aparece cero por infinito, se pasa uno de los dos factores al denominador como su inverso. Eso convierte el producto en un cociente y ya se puede aplicar la regla.

Cuando aparece infinito menos infinito, se busca un denominador común o se saca factor común, hasta que quede un cociente.

Las tres formas con exponente, uno elevado a infinito, cero elevado a cero e infinito elevado a cero, se resuelven todas igual: se toma logaritmo, que baja el exponente y convierte la expresión en un producto. Ese producto se lleva a cociente y se aplica L'Hôpital.

Al terminar hay que acordarse de deshacer el logaritmo. El resultado del límite del logaritmo no es el límite buscado: hay que aplicarle la exponencial. Ese paso se olvida seguido y da la respuesta equivocada.

0 \cdot \infty \to

al denominador

1\infty \to

aplicar ln y deshacer al final

Cuándo se usa

Cuando la indeterminación no es directamente un cociente. Producto se pasa a cociente, resta se junta con denominador común, y las de exponente se resuelven con logaritmo. Al final, no te olvides de deshacer el logaritmo.

Ejemplo 1

Calcular $\lim x \cdot \ln x$ con $x \to 0^{+}$ .

Identificamos la indeterminación. $x \to 0$ y $\ln x \to -\infty$ : es $0 \cdot \infty$ .
Pasamos un factor al denominador. $x \cdot \ln x = \ln x / (1/x)$ , que ahora es $-\infty /\infty$ .
Aplicamos L'Hôpital. Arriba: $1/x$ . Abajo: $-1/x^{2}$ .
Simplificamos la fracción de fracciones. $(1/x) / (-1/x^{2}) = -x^{2}/x = -x$
Reemplazamos. $= 0$
Respuesta: el límite vale $0$

Ejemplo 2

Calcular $\lim (1 + 1/x)^{x}$ con $x \to \infty$ .

Identificamos la indeterminación. La base tiende a $1$ y el exponente a $\infty$ : es $1^\infty$ .
Llamamos L al límite y aplicamos logaritmo. $\ln L = \lim x \cdot \ln(1 + 1/x)$
Pasamos a cociente y aplicamos L'Hôpital. $\ln(1 + 1/x) / (1/x)$ , que es $0/0$ . Derivando arriba y abajo queda $[ (-1/x^{2})/(1 + 1/x) ] / (-1/x^{2}) = 1/(1 + 1/x)$ .
Reemplazamos. Cuando $x \to \infty$ , eso tiende a $1$ . Así que $\ln L = 1$ .
Deshacemos el logaritmo. $L = e^{1} = e$
Respuesta: el límite vale $e$ , que es la definición misma del número

Error típico

Olvidarse de deshacer el logaritmo al final. Si calculaste $\ln L$ y te dio $2$ , la respuesta es $e^{2}$ y no $2$ .

Practicar

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Otros subtemas de Aplicaciones de la derivada

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