Asíntotas oblicuas

Una asíntota oblicua es una recta inclinada a la que la curva se va acercando cuando la variable se aleja al infinito. Aparece cuando no hay asíntota horizontal pero la función igual tiende a comportarse como una recta.

En cocientes de polinomios existe cuando el grado de arriba es exactamente uno más que el de abajo. Si la diferencia es mayor, la función crece más rápido que cualquier recta y no hay asíntota de ningún tipo.

La forma más rápida de hallarla en ese caso es dividir los polinomios. El cociente de la división es la asíntota, y el resto tiende a cero cuando la variable se va al infinito.

También hay una forma general con dos límites: uno da la pendiente y el otro la ordenada al origen. Sirve para funciones que no son cocientes de polinomios.

Una función no puede tener asíntota horizontal y oblicua del mismo lado: o tiende a una altura fija o tiende a una recta inclinada. Pero sí puede tener una de cada tipo, una hacia cada infinito.

y = mx + b, \quad m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}, \quad b = \lim_{x \to \infty} [\,f(x) - mx\,]

Cuándo se usa

Cuando es un cociente de polinomios y el grado de arriba supera al de abajo en exactamente uno. Dividí los polinomios: el cociente es la asíntota.

Ejemplo 1

Hallar la asíntota oblicua de $f(x) = (x^{2} + 1) / x$ .

Verificamos los grados. Arriba grado $2$ , abajo grado $1$ . La diferencia es uno: hay oblicua.
Calculamos m. $f(x)/x = (x^{2} + 1) / x^{2}$ , que tiende a $1$ cuando $x \to \infty$ . Así que $m = 1$ .
Calculamos b. $f(x) - x = (x^{2} + 1)/x - x = (x^{2} + 1 - x^{2})/x = 1/x$ , que tiende a $0$ .
Armamos la recta. $y = 1 \cdot x$
Respuesta: la asíntota oblicua es $y = x$

Ejemplo 2

Hallar la asíntota oblicua de $f(x) = (2x^{2} - 3x) / (x + 1)$ .

Verificamos los grados. Dos y uno: la diferencia es uno, hay oblicua.
Calculamos m. $f(x)/x = (2x^{2} - 3x) / (x^{2} + x)$ . Como los grados de arriba y abajo son iguales, el límite es el cociente de los coeficientes principales: $m = 2$ .
Calculamos b. $f(x) - 2x = (2x^{2} - 3x - 2x^{2} - 2x) / (x + 1) = -5x / (x + 1)$ , que tiende a $-5$ .
Armamos la recta. $y = 2x - 5$
Respuesta: la asíntota oblicua es $y = 2x - 5$

Error típico

Calcular $b$ como $\lim f(x)$ en vez de $\lim [f(x) - mx]$ . Sin restarle la parte inclinada, el límite da infinito y no sirve.

Practicar

← Leer el gráfico de $f'$El estudio completo, paso a paso →

Otros subtemas de Aplicaciones de la derivada

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .