Puntos críticos

Un punto crítico es donde la derivada se anula o no existe. Son los únicos candidatos posibles a máximo o mínimo, y por eso el primer paso de cualquier ejercicio de extremos es encontrarlos.

Que la derivada se anule significa que la tangente es horizontal, o sea que la función dejó momentáneamente de subir o bajar. Eso pasa en las cimas y en los valles.

Que la derivada no exista también cuenta, porque un pico puede ser un máximo aunque no haya tangente definida. Es el caso del valor absoluto, cuyo mínimo está justo donde no es derivable.

Ser punto crítico no garantiza ser extremo. La derivada puede anularse y la función seguir subiendo del otro lado: ahí hay un aplanamiento momentáneo pero no un máximo ni un mínimo.

Por eso después de encontrarlos hay que clasificarlos, y para eso están los criterios de la primera y de la segunda derivada.

c es crítico si

f'(c) = 0 o

f'(c)

no existe

Cuándo se usa

Es el primer paso de cualquier ejercicio de máximos y mínimos. Igualá la derivada a cero y resolvé, y fijate además si hay puntos del dominio donde la derivada no exista.

Ejemplo 1

Hallar los puntos críticos de $f(x) = x^{3} - 6x^{2} + 9x$ .

Derivamos. $f'(x) = 3x^{2} - 12x + 9$
Sacamos factor común y factorizamos. $3(x^{2} - 4x + 3) = 3(x - 1)(x - 3)$
Igualamos a cero. $x = 1$ y $x = 3$ .
Verificamos que la derivada exista en todos lados. Es un polinomio, así que su derivada existe para todo $x$ . No hay críticos por el segundo motivo.
Respuesta: los puntos críticos son $x = 1$ y $x = 3$

Ejemplo 2

Hallar los puntos críticos de $f(x) = x^(2/3)$ .

Derivamos con la regla de la potencia. $f'(x) = (2/3) x^(-1/3)$ , que es $2 / (3 \sqrt[3]{x})$ .
Buscamos dónde se anula. Una fracción es cero cuando el numerador es cero, y acá el numerador es $2$ . Nunca se anula.
Buscamos dónde no existe. En $x = 0$ el denominador se hace cero, así que la derivada no existe ahí.
Verificamos que el punto pertenezca al dominio. $f(0) = 0$ existe sin problema, así que $x = 0$ es un punto crítico del segundo tipo.
Respuesta: el único punto crítico es $x = 0$

Error típico

Buscar los críticos resolviendo $f(x) = 0$ en vez de $f'(x) = 0$ . Resolver $f(x) = 0$ da las raíces, que son donde la curva corta el eje: otra pregunta completamente distinta.

Practicar

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Otros subtemas de Aplicaciones de la derivada

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