Ejercicios: Puntos críticos

c es crítico si

f'(c) = 0 o

f'(c)

no existe

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Hallá los puntos críticos de $f(x) = x^{3} - \dfrac{15 x^{2}}{2} + 12 x$ .

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1. Recordamos la definición. Un punto crítico es donde la derivada se anula o no existe.

2. Derivamos. $f'(x) = 3 x^{2} - 15 x + 12$

3. Vemos si hay puntos donde no exista. La derivada es un polinomio, así que existe en todos los reales: solo quedan los ceros.

4. Resolvemos. $3 \left(x - 4\right) \left(x - 1\right) = 0$ da $x = 1$ y $x = 4$ . Son los únicos candidatos a extremo, aunque todavía no sabemos si lo son.

Respuesta: $x = 1$ y $x = 4$

2. Hallá los puntos críticos de $f(x) = |x - 5| + 1$ .

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1. Derivamos donde se puede. Para $x > 5$ la función es $x - 5 + 1$ y su derivada es $1$ . Para $x < 5$ es $-(x - 5) + 1$ y su derivada es $-1$ .

2. Buscamos ceros de la derivada. En ningún tramo la derivada vale cero: siempre es $1$ o $-1$ .

3. Buscamos dónde no existe. En $x = 5$ las derivadas laterales dan $-1$ y $1$ , así que la derivada no existe ahí.

4. Concluimos. $x = 5$ es punto crítico aunque la derivada no se anule. Descartar estos casos deja afuera extremos reales: acá hay un mínimo.

Respuesta: $x = 5$ , donde la derivada no existe

3. Hallá los puntos críticos de $f(x) = x^{6}e^{-x}$ .

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1. Derivamos con la regla del producto. $f'(x) = 6x^{5}e^{-x} - x^{6}e^{-x}$

2. Sacamos factor común. $f'(x) = x^{5}e^{-x}(6 - x)$

3. Igualamos a cero. Un producto se anula cuando algún factor lo hace. La exponencial nunca es cero, así que quedan $x = 0$ y $x = 6$ .

4. Chequeamos si falta algún caso. La derivada existe en todos los reales, así que no hay críticos por no derivabilidad.

Respuesta: $x = 0$ y $x = 6$

4. Mostrá que $x = 0$ es punto crítico de $f(x) = x^{3} + 5$ pero no es ni máximo ni mínimo.

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1. Derivamos y buscamos críticos. $f'(x) = 3x^{2}$ , que se anula solo en $x = 0$ : es punto crítico.

2. Estudiamos el signo de la derivada alrededor. $f'(-1) = 3$ y $f'(1) = 3$ : la derivada es positiva de los dos lados.

3. Traducimos. La función crece antes y después del punto: solo se aplana un instante y sigue subiendo.

4. Concluimos. No hay extremo en $x = 0$ . Ser punto crítico es condición necesaria pero no suficiente: por eso siempre hay que clasificarlos.

Respuesta: $x = 0$ es crítico pero no es extremo: la función crece de los dos lados

5. Hallá los puntos críticos de $f(x) = x^{3} + \dfrac{9 x^{2}}{2}$ .

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1. Recordamos la definición. Un punto crítico es donde la derivada se anula o no existe.

2. Derivamos. $f'(x) = 3 x \left(x + 3\right)$

3. Vemos si hay puntos donde no exista. La derivada es un polinomio, así que existe en todos los reales: solo quedan los ceros.

4. Resolvemos. $3 x \left(x + 3\right) = 0$ da $x = -3$ y $x = 0$ . Son los únicos candidatos a extremo, aunque todavía no sabemos si lo son.

Respuesta: $x = -3$ y $x = 0$

6. Hallá los puntos críticos de $f(x) = |x - 4| + 1$ .

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1. Derivamos donde se puede. Para $x > 4$ la función es $x - 4 + 1$ y su derivada es $1$ . Para $x < 4$ es $-(x - 4) + 1$ y su derivada es $-1$ .

2. Buscamos ceros de la derivada. En ningún tramo la derivada vale cero: siempre es $1$ o $-1$ .

3. Buscamos dónde no existe. En $x = 4$ las derivadas laterales dan $-1$ y $1$ , así que la derivada no existe ahí.

4. Concluimos. $x = 4$ es punto crítico aunque la derivada no se anule. Descartar estos casos deja afuera extremos reales: acá hay un mínimo.

Respuesta: $x = 4$ , donde la derivada no existe

7. Hallá los puntos críticos de $f(x) = x^{3}e^{-x}$ .

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1. Derivamos con la regla del producto. $f'(x) = 3x^{2}e^{-x} - x^{3}e^{-x}$

2. Sacamos factor común. $f'(x) = x^{2}e^{-x}(3 - x)$

3. Igualamos a cero. Un producto se anula cuando algún factor lo hace. La exponencial nunca es cero, así que quedan $x = 0$ y $x = 3$ .

4. Chequeamos si falta algún caso. La derivada existe en todos los reales, así que no hay críticos por no derivabilidad.

Respuesta: $x = 0$ y $x = 3$

8. Mostrá que $x = 0$ es punto crítico de $f(x) = x^{3} + 3$ pero no es ni máximo ni mínimo.

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1. Derivamos y buscamos críticos. $f'(x) = 3x^{2}$ , que se anula solo en $x = 0$ : es punto crítico.

2. Estudiamos el signo de la derivada alrededor. $f'(-1) = 3$ y $f'(1) = 3$ : la derivada es positiva de los dos lados.

3. Traducimos. La función crece antes y después del punto: solo se aplana un instante y sigue subiendo.

4. Concluimos. No hay extremo en $x = 0$ . Ser punto crítico es condición necesaria pero no suficiente: por eso siempre hay que clasificarlos.

Respuesta: $x = 0$ es crítico pero no es extremo: la función crece de los dos lados

9. Hallá los puntos críticos de $f(x) = x^{3} - 12 x^{2} + 36 x$ .

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1. Recordamos la definición. Un punto crítico es donde la derivada se anula o no existe.

2. Derivamos. $f'(x) = 3 x^{2} - 24 x + 36$

3. Vemos si hay puntos donde no exista. La derivada es un polinomio, así que existe en todos los reales: solo quedan los ceros.

4. Resolvemos. $3 \left(x - 6\right) \left(x - 2\right) = 0$ da $x = 2$ y $x = 6$ . Son los únicos candidatos a extremo, aunque todavía no sabemos si lo son.

Respuesta: $x = 2$ y $x = 6$

10. Hallá los puntos críticos de $f(x) = |x - 3| + 1$ .

Ver solución

1. Derivamos donde se puede. Para $x > 3$ la función es $x - 3 + 1$ y su derivada es $1$ . Para $x < 3$ es $-(x - 3) + 1$ y su derivada es $-1$ .

2. Buscamos ceros de la derivada. En ningún tramo la derivada vale cero: siempre es $1$ o $-1$ .

3. Buscamos dónde no existe. En $x = 3$ las derivadas laterales dan $-1$ y $1$ , así que la derivada no existe ahí.

4. Concluimos. $x = 3$ es punto crítico aunque la derivada no se anule. Descartar estos casos deja afuera extremos reales: acá hay un mínimo.

Respuesta: $x = 3$ , donde la derivada no existe

11. Hallá los puntos críticos de $f(x) = x^{2}e^{-x}$ .

Ver solución

1. Derivamos con la regla del producto. $f'(x) = 2x^{1}e^{-x} - x^{2}e^{-x}$

2. Sacamos factor común. $f'(x) = x^{1}e^{-x}(2 - x)$

3. Igualamos a cero. Un producto se anula cuando algún factor lo hace. La exponencial nunca es cero, así que quedan $x = 0$ y $x = 2$ .

4. Chequeamos si falta algún caso. La derivada existe en todos los reales, así que no hay críticos por no derivabilidad.

Respuesta: $x = 0$ y $x = 2$

12. Mostrá que $x = 0$ es punto crítico de $f(x) = x^{3} + 2$ pero no es ni máximo ni mínimo.

Ver solución

1. Derivamos y buscamos críticos. $f'(x) = 3x^{2}$ , que se anula solo en $x = 0$ : es punto crítico.

2. Estudiamos el signo de la derivada alrededor. $f'(-1) = 3$ y $f'(1) = 3$ : la derivada es positiva de los dos lados.

3. Traducimos. La función crece antes y después del punto: solo se aplana un instante y sigue subiendo.

4. Concluimos. No hay extremo en $x = 0$ . Ser punto crítico es condición necesaria pero no suficiente: por eso siempre hay que clasificarlos.

Respuesta: $x = 0$ es crítico pero no es extremo: la función crece de los dos lados

Integradores de Aplicaciones de la derivada: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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