Ejercicios: Crecimiento y decrecimiento

2. Buscamos dónde se anula la derivada. $3 x^{2} - 12 x - 15 = 0$ se factoriza como $3 \left(x - 5\right) \left(x + 1\right)$, con raíces $x = -1$ y $x = 5$.

3. Estudiamos el signo de la derivada en cada tramo. $f'(-2) = 21$, $f'(2) = -27$ y $f'(6) = 21$.

4. Traducimos el signo a crecimiento. Donde la derivada es positiva la función crece y donde es negativa decrece.

Respuesta: crece en $(-\infty, -1)$ y en $(5, +\infty)$, y decrece en $(-1, 5)$

2. Vemos qué factor decide el signo. La exponencial es siempre positiva, así que el signo lo decide $1 - 5x$.

3. Buscamos dónde se anula. $1 - 5x = 0$ da $x = \dfrac{1}{5}$.

4. Estudiamos los dos tramos. Para $x < \dfrac{1}{5}$ el factor es positivo y la función crece; para $x > \dfrac{1}{5}$ es negativo y decrece.

Respuesta: crece en $(-\infty, \dfrac{1}{5})$ y decrece en $(\dfrac{1}{5}, +\infty)$

2. Analizamos el signo de la derivada. $3x^{2}$ nunca es negativo, y sumarle $2$ la deja siempre mayor o igual que $2$.

3. Concluimos sobre el signo. $f'(x) \geq 2 > 0$ para todo $x$: la derivada nunca se anula ni cambia de signo.

4. Traducimos. Derivada positiva en todo el dominio significa función estrictamente creciente. Como consecuencia, además, es inyectiva y tiene una sola raíz.

Respuesta: es creciente en todo $\mathbb{R}$, porque $f'(x) \geq 2 > 0$

2. Derivamos. $f'(x) = \dfrac{1}{x} - 5 = \dfrac{1 - 5x}{x}$

3. Estudiamos el signo. En el dominio el denominador es positivo, así que decide el numerador: $1 - 5x > 0$ equivale a $x < \dfrac{1}{5}$.

4. Escribimos los intervalos. Crece en $(0, \dfrac{1}{5})$ y decrece en $(\dfrac{1}{5}, +\infty)$. El dominio recorta el estudio: no tiene sentido hablar de lo que pasa a la izquierda del cero.

Respuesta: crece en $(0, \dfrac{1}{5})$ y decrece en $(\dfrac{1}{5}, +\infty)$

2. Buscamos dónde se anula la derivada. $3 x^{2} + 6 x - 9 = 0$ se factoriza como $3 \left(x - 1\right) \left(x + 3\right)$, con raíces $x = -3$ y $x = 1$.

3. Estudiamos el signo de la derivada en cada tramo. $f'(-4) = 15$, $f'(-1) = -12$ y $f'(2) = 15$.

4. Traducimos el signo a crecimiento. Donde la derivada es positiva la función crece y donde es negativa decrece.

Respuesta: crece en $(-\infty, -3)$ y en $(1, +\infty)$, y decrece en $(-3, 1)$

2. Vemos qué factor decide el signo. La exponencial es siempre positiva, así que el signo lo decide $1 - 3x$.

3. Buscamos dónde se anula. $1 - 3x = 0$ da $x = \dfrac{1}{3}$.

4. Estudiamos los dos tramos. Para $x < \dfrac{1}{3}$ el factor es positivo y la función crece; para $x > \dfrac{1}{3}$ es negativo y decrece.

Respuesta: crece en $(-\infty, \dfrac{1}{3})$ y decrece en $(\dfrac{1}{3}, +\infty)$

2. Analizamos el signo de la derivada. $3x^{2}$ nunca es negativo, y sumarle $6$ la deja siempre mayor o igual que $6$.

3. Concluimos sobre el signo. $f'(x) \geq 6 > 0$ para todo $x$: la derivada nunca se anula ni cambia de signo.

4. Traducimos. Derivada positiva en todo el dominio significa función estrictamente creciente. Como consecuencia, además, es inyectiva y tiene una sola raíz.

Respuesta: es creciente en todo $\mathbb{R}$, porque $f'(x) \geq 6 > 0$

2. Derivamos. $f'(x) = \dfrac{1}{x} - 6 = \dfrac{1 - 6x}{x}$

3. Estudiamos el signo. En el dominio el denominador es positivo, así que decide el numerador: $1 - 6x > 0$ equivale a $x < \dfrac{1}{6}$.

4. Escribimos los intervalos. Crece en $(0, \dfrac{1}{6})$ y decrece en $(\dfrac{1}{6}, +\infty)$. El dominio recorta el estudio: no tiene sentido hablar de lo que pasa a la izquierda del cero.

Respuesta: crece en $(0, \dfrac{1}{6})$ y decrece en $(\dfrac{1}{6}, +\infty)$

2. Buscamos dónde se anula la derivada. $3 x^{2} - 12 x + 9 = 0$ se factoriza como $3 \left(x - 3\right) \left(x - 1\right)$, con raíces $x = 1$ y $x = 3$.

3. Estudiamos el signo de la derivada en cada tramo. $f'(0) = 9$, $f'(2) = -3$ y $f'(4) = 9$.

4. Traducimos el signo a crecimiento. Donde la derivada es positiva la función crece y donde es negativa decrece.

Respuesta: crece en $(-\infty, 1)$ y en $(3, +\infty)$, y decrece en $(1, 3)$

2. Vemos qué factor decide el signo. La exponencial es siempre positiva, así que el signo lo decide $1 - 4x$.

3. Buscamos dónde se anula. $1 - 4x = 0$ da $x = \dfrac{1}{4}$.

4. Estudiamos los dos tramos. Para $x < \dfrac{1}{4}$ el factor es positivo y la función crece; para $x > \dfrac{1}{4}$ es negativo y decrece.

Respuesta: crece en $(-\infty, \dfrac{1}{4})$ y decrece en $(\dfrac{1}{4}, +\infty)$

2. Analizamos el signo de la derivada. $3x^{2}$ nunca es negativo, y sumarle $4$ la deja siempre mayor o igual que $4$.

3. Concluimos sobre el signo. $f'(x) \geq 4 > 0$ para todo $x$: la derivada nunca se anula ni cambia de signo.

4. Traducimos. Derivada positiva en todo el dominio significa función estrictamente creciente. Como consecuencia, además, es inyectiva y tiene una sola raíz.

Respuesta: es creciente en todo $\mathbb{R}$, porque $f'(x) \geq 4 > 0$

2. Derivamos. $f'(x) = \dfrac{1}{x} - 7 = \dfrac{1 - 7x}{x}$

3. Estudiamos el signo. En el dominio el denominador es positivo, así que decide el numerador: $1 - 7x > 0$ equivale a $x < \dfrac{1}{7}$.

4. Escribimos los intervalos. Crece en $(0, \dfrac{1}{7})$ y decrece en $(\dfrac{1}{7}, +\infty)$. El dominio recorta el estudio: no tiene sentido hablar de lo que pasa a la izquierda del cero.

Respuesta: crece en $(0, \dfrac{1}{7})$ y decrece en $(\dfrac{1}{7}, +\infty)$