Método

Ejercicios: El diferencial

dy=f′(x) dx≈Δydy = f'(x) \, dx \approx \Delta y

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Para f(x)=3x2f(x) = 3 x^{2}, calculá dydy en x=2x = 2 con dx=0,2dx = 0{,}2.

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1. Escribimos la fórmula del diferencial. dy=f′(x) dxdy = f'(x)\,dx

2. Derivamos. f′(x)=6xf'(x) = 6 x

3. Evaluamos la derivada en el punto. f′(2)=12f'(2) = 12

4. Multiplicamos por el cambio de la variable. dy=12⋅0,2=2,4dy = 12 \cdot 0{,}2 = 2{,}4

Respuesta: dy=2,4dy = 2{,}4

2. Para f(x)=3x2f(x) = 3 x^{2} en x=1x = 1 con dx=0,1dx = 0{,}1, calculá el diferencial dydy y el incremento real Δy\Delta y, y compará.

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1. Calculamos el diferencial. dy=f′(1) dx=6⋅0,1=0,6dy = f'(1)\,dx = 6 \cdot 0{,}1 = 0{,}6

2. Calculamos el incremento real. Δy=f(1,1)−f(1)=3,63−3=0,63\Delta y = f(1{,}1) - f(1) = 3{,}63 - 3 = 0{,}63

3. Comparamos. Se diferencian en 0,030{,}03, que es chico frente a los dos valores.

4. Interpretamos. El diferencial usa la recta tangente y el incremento usa la curva. Con dxdx chico casi coinciden, y la diferencia crece cuando dxdx crece.

Respuesta: dy=0,6dy = 0{,}6 y Δy=0,63\Delta y = 0{,}63

3. El lado de un cuadrado mide 1010 cm con un error de hasta 0,10{,}1 cm. Estimá el error del área usando el diferencial.

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1. Escribimos la función. A(L)=L2A(L) = L^{2}, con L=10L = 10 y un error dL=0,1dL = 0{,}1.

2. Derivamos. A′(L)=2LA'(L) = 2L

3. Aplicamos el diferencial. dA=A′(10) dL=20⋅0,1=2dA = A'(10)\,dL = 20 \cdot 0{,}1 = 2

4. Interpretamos. El área es de 100100 cm cuadrados con un error de hasta 22 cm cuadrados. El diferencial evita calcular las dos áreas y restarlas.

Respuesta: el error del área es de hasta 22 centímetros cuadrados

4. Escribí el diferencial de f(x)=3x3f(x) = 3 x^{3} y explicá qué diferencia hay entre dydy y Δy\Delta y.

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1. Derivamos. f′(x)=9x2f'(x) = 9 x^{2}

2. Escribimos el diferencial. dy=9x2 dxdy = 9 x^{2}\,dx

3. Definimos el incremento. Δy=f(x+dx)−f(x)\Delta y = f(x + dx) - f(x), que es el cambio exacto de la función.

4. Comparamos los dos. dydy se calcula con una multiplicación y usa la recta tangente; Δy\Delta y exige evaluar la función dos veces y usa la curva. Para dxdx chico son casi iguales.

Respuesta: dy=9x2 dxdy = 9 x^{2}\,dx, que aproxima a Δy\Delta y cuando dxdx es chico

5. Para f(x)=2x2f(x) = 2 x^{2}, calculá dydy en x=5x = 5 con dx=0,02dx = 0{,}02.

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1. Escribimos la fórmula del diferencial. dy=f′(x) dxdy = f'(x)\,dx

2. Derivamos. f′(x)=4xf'(x) = 4 x

3. Evaluamos la derivada en el punto. f′(5)=20f'(5) = 20

4. Multiplicamos por el cambio de la variable. dy=20⋅0,02=0,4dy = 20 \cdot 0{,}02 = 0{,}4

Respuesta: dy=0,4dy = 0{,}4

6. Para f(x)=x2f(x) = x^{2} en x=2x = 2 con dx=0,25dx = 0{,}25, calculá el diferencial dydy y el incremento real Δy\Delta y, y compará.

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1. Calculamos el diferencial. dy=f′(2) dx=4⋅0,25=1dy = f'(2)\,dx = 4 \cdot 0{,}25 = 1

2. Calculamos el incremento real. Δy=f(2,25)−f(2)=5,0625−4=1,0625\Delta y = f(2{,}25) - f(2) = 5{,}0625 - 4 = 1{,}0625

3. Comparamos. Se diferencian en 0,06250{,}0625, que es chico frente a los dos valores.

4. Interpretamos. El diferencial usa la recta tangente y el incremento usa la curva. Con dxdx chico casi coinciden, y la diferencia crece cuando dxdx crece.

Respuesta: dy=1dy = 1 y Δy=1,0625\Delta y = 1{,}0625

7. El lado de un cuadrado mide 3030 cm con un error de hasta 0,50{,}5 cm. Estimá el error del área usando el diferencial.

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1. Escribimos la función. A(L)=L2A(L) = L^{2}, con L=30L = 30 y un error dL=0,5dL = 0{,}5.

2. Derivamos. A′(L)=2LA'(L) = 2L

3. Aplicamos el diferencial. dA=A′(30) dL=60⋅0,5=30dA = A'(30)\,dL = 60 \cdot 0{,}5 = 30

4. Interpretamos. El área es de 900900 cm cuadrados con un error de hasta 3030 cm cuadrados. El diferencial evita calcular las dos áreas y restarlas.

Respuesta: el error del área es de hasta 3030 centímetros cuadrados

8. Escribí el diferencial de f(x)=2x3f(x) = 2 x^{3} y explicá qué diferencia hay entre dydy y Δy\Delta y.

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1. Derivamos. f′(x)=6x2f'(x) = 6 x^{2}

2. Escribimos el diferencial. dy=6x2 dxdy = 6 x^{2}\,dx

3. Definimos el incremento. Δy=f(x+dx)−f(x)\Delta y = f(x + dx) - f(x), que es el cambio exacto de la función.

4. Comparamos los dos. dydy se calcula con una multiplicación y usa la recta tangente; Δy\Delta y exige evaluar la función dos veces y usa la curva. Para dxdx chico son casi iguales.

Respuesta: dy=6x2 dxdy = 6 x^{2}\,dx, que aproxima a Δy\Delta y cuando dxdx es chico

9. Para f(x)=4x2f(x) = 4 x^{2}, calculá dydy en x=1x = 1 con dx=0,1dx = 0{,}1.

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1. Escribimos la fórmula del diferencial. dy=f′(x) dxdy = f'(x)\,dx

2. Derivamos. f′(x)=8xf'(x) = 8 x

3. Evaluamos la derivada en el punto. f′(1)=8f'(1) = 8

4. Multiplicamos por el cambio de la variable. dy=8⋅0,1=0,8dy = 8 \cdot 0{,}1 = 0{,}8

Respuesta: dy=0,8dy = 0{,}8

10. Para f(x)=x2f(x) = x^{2} en x=3x = 3 con dx=0,1dx = 0{,}1, calculá el diferencial dydy y el incremento real Δy\Delta y, y compará.

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1. Calculamos el diferencial. dy=f′(3) dx=6⋅0,1=0,6dy = f'(3)\,dx = 6 \cdot 0{,}1 = 0{,}6

2. Calculamos el incremento real. Δy=f(3,1)−f(3)=9,61−9=0,61\Delta y = f(3{,}1) - f(3) = 9{,}61 - 9 = 0{,}61

3. Comparamos. Se diferencian en 0,010{,}01, que es chico frente a los dos valores.

4. Interpretamos. El diferencial usa la recta tangente y el incremento usa la curva. Con dxdx chico casi coinciden, y la diferencia crece cuando dxdx crece.

Respuesta: dy=0,6dy = 0{,}6 y Δy=0,61\Delta y = 0{,}61

11. El lado de un cuadrado mide 1515 cm con un error de hasta 0,10{,}1 cm. Estimá el error del área usando el diferencial.

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1. Escribimos la función. A(L)=L2A(L) = L^{2}, con L=15L = 15 y un error dL=0,1dL = 0{,}1.

2. Derivamos. A′(L)=2LA'(L) = 2L

3. Aplicamos el diferencial. dA=A′(15) dL=30⋅0,1=3dA = A'(15)\,dL = 30 \cdot 0{,}1 = 3

4. Interpretamos. El área es de 225225 cm cuadrados con un error de hasta 33 cm cuadrados. El diferencial evita calcular las dos áreas y restarlas.

Respuesta: el error del área es de hasta 33 centímetros cuadrados

12. Escribí el diferencial de f(x)=7x3f(x) = 7 x^{3} y explicá qué diferencia hay entre dydy y Δy\Delta y.

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1. Derivamos. f′(x)=21x2f'(x) = 21 x^{2}

2. Escribimos el diferencial. dy=21x2 dxdy = 21 x^{2}\,dx

3. Definimos el incremento. Δy=f(x+dx)−f(x)\Delta y = f(x + dx) - f(x), que es el cambio exacto de la función.

4. Comparamos los dos. dydy se calcula con una multiplicación y usa la recta tangente; Δy\Delta y exige evaluar la función dos veces y usa la curva. Para dxdx chico son casi iguales.

Respuesta: dy=21x2 dxdy = 21 x^{2}\,dx, que aproxima a Δy\Delta y cuando dxdx es chico

Integradores de Derivadas: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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