El diferencial

El diferencial estima cuánto cambia una función cuando la variable cambia poquito, usando la recta tangente en lugar de la curva.

El cambio real se llama incremento y se calcula restando dos valores de la función. El diferencial es su aproximación lineal: la derivada multiplicada por el cambio de la variable. Los dos números son parecidos si el cambio es chico y se separan cuando el cambio crece.

La ventaja es que el diferencial se calcula con una multiplicación, mientras que el incremento exige evaluar la función dos veces.

Esto tiene aplicación directa en propagación de errores. Si se mide algo con un instrumento que tiene cierta imprecisión, el diferencial dice cuánto se traslada esa imprecisión al resultado de una cuenta hecha con ese dato.

El error absoluto es el diferencial en sí; el relativo es ese valor dividido por el valor de la función, y suele expresarse en porcentaje, que es lo que se pide en los ejercicios.

La notación que se usa acá es la misma que después aparece en todas las integrales.

dy = f'(x) \, dx \approx \Delta y

Cuándo se usa

Cuando hay que estimar un cambio chico o calcular propagación de errores en una medición. Si el ejercicio pide el error relativo, dividí el diferencial por el valor de la función.

Ejemplo 1

Estimar con el diferencial cuánto cambia $f(x) = x^{2}$ al pasar $x$ de $3$ a $3{,}01$ .

Calculamos la derivada. Es $2x$ .
Evaluamos en el punto de partida. Da $6$ .
Identificamos el cambio de la variable. Es $0{,}01$ .
Multiplicamos. El diferencial vale $0{,}06$ .
Comparamos con el cambio real, que es $3{,}01^{2} - 9 = 0{,}0601$ . La estimación es muy buena.
Respuesta: $dy = 0{,}06$

Ejemplo 2

Estimar $\sqrt{4{,}1}$ usando el diferencial.

Elegimos la función y un punto fácil. Tomamos $f(x) = \sqrt{x}$ y el punto $4$ , donde la raíz es exacta.
Calculamos la derivada y la evaluamos. Es $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ , que en $4$ vale $\frac{1}{4}$ .
Multiplicamos por el cambio, que es $0{,}1$ . El diferencial da $0{,}025$ .
Sumamos al valor conocido.
Respuesta: $\sqrt{4{,}1} \approx 2{,}025$

Error típico

Confundir el diferencial con el incremento real. Son parecidos pero no iguales, y la diferencia crece cuanto más grande sea el cambio.

Practicar

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Otros subtemas de Derivadas

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