Suma, resta y constante por función

La derivada se lleva bien con la suma: la derivada de una suma es la suma de las derivadas, y lo mismo con la resta. Eso permite derivar término por término sin preocuparse por el resto.

También se lleva bien con las constantes que multiplican. Si una función está multiplicada por un número, ese número sale afuera y se deriva solo lo que queda.

Con estas dos propiedades más la regla de la potencia ya se puede derivar cualquier polinomio, que es la mayoría de lo que aparece en los primeros ejercicios.

Lo importante es notar que estas propiedades no valen para el producto ni para el cociente. La derivada de un producto no es el producto de las derivadas, y ese es uno de los errores más caros del tema, porque parece razonable pero es falso.

La diferencia está en que una constante multiplicando no cambia con la variable, mientras que en un producto de dos funciones las dos cambian a la vez, y eso pide una regla propia.

( f \pm g ) ' = f' \pm g' ( k \cdot f ) ' = k \cdot f'

Cuándo se usa

En cualquier expresión que sea una suma de términos: se deriva cada uno por separado. Si hay un número multiplicando, sacalo afuera. Pero si hay dos funciones multiplicándose entre sí, no sirve: va la regla del producto.

Ejemplo 1

Derivar $f(x) = 4x^{5} - 3x^{2} + 8x - 12$ .

Derivamos el primer término. Baja el $5$ y se multiplica por $4$ : $20x^{4}$ .
Derivamos el segundo. Baja el $2$ y se multiplica por $3$ : $6x$ . Con el signo menos delante queda $-6x$ .
Derivamos el tercero. $8x$ es $8 \cdot x^{1}$ , y la derivada de $x$ es $1$ , así que queda $8$ .
Derivamos el cuarto. $-12$ es una constante sola: deriva a $0$ .
Unimos todo con los mismos signos. $20x^{4} - 6x + 8$
Respuesta: $f'(x) = 20x^{4} - 6x + 8$

Ejemplo 2

Derivar $f(x) = 6\sqrt{x} + 2/x$ .

Reescribimos los dos términos como potencias. $6x^(1/2) + 2x^{-1}$
Derivamos el primero. Baja el $1/2$ y se multiplica por $6$ : $6 \cdot (1/2) = 3$ , con exponente $-1/2$ . Queda $3x^(-1/2)$ .
Derivamos el segundo. Baja el $-1$ y se multiplica por $2$ : $-2$ , con exponente $-2$ . Queda $-2x^{-2}$ .
Reescribimos en forma legible. $3/\sqrt{x} - 2/x^{2}$
Respuesta: $f'(x) = 3/\sqrt{x} - 2/x^{2}$

Error típico

Olvidarse de multiplicar por la constante que ya estaba. La derivada de $5x^{3}$ es $15x^{2}$ y no $3x^{2}$ : el $3$ que baja se multiplica con el $5$ , no lo reemplaza.

Practicar

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Otros subtemas de Derivadas

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