Trigonométricas inversas

Las funciones trigonométricas inversas devuelven el ángulo a partir del valor. El arcoseno responde qué ángulo tiene tal seno, y así con las demás.

Sus derivadas son sorprendentes: aunque las funciones vienen de la trigonometría, las derivadas son expresiones algebraicas con raíces y fracciones, sin ningún seno ni coseno.

La del arcoseno tiene una raíz en el denominador y la del arcotangente es una fracción simple. La del arcocoseno es igual a la del arcoseno pero con signo cambiado, lo que tiene sentido porque las dos funciones son complementarias.

Estas derivadas salen de aplicar la regla de la derivada de la función inversa, y por eso aparecen raíces donde antes había funciones trigonométricas.

En los ejercicios casi siempre vienen acompañadas de la regla de la cadena, porque adentro del arcoseno o del arcotangente suele haber otra función.

El arcotangente es la más usada de las tres, porque su derivada aparece del otro lado cuando se estudian integrales.

( \operatorname{arc\,sen} x ) ' = 1 / \sqrt{1 - x^{2}}

Cuándo se usa

Cuando aparece un arcoseno, arcocoseno o arcotangente. Si adentro hay algo más que la variable, va la regla de la cadena. Estas derivadas se usan mucho más adelante, en el cálculo de integrales.

Ejemplo 1

Derivar $f(x) = \operatorname{arc\,sen} x + \operatorname{arc\,cos} x$ y explicar el resultado.

Derivamos el primer término. $1 / \sqrt{1 - x^{2}}$
Derivamos el segundo. $-1 / \sqrt{1 - x^{2}}$ , con el signo menos.
Sumamos. Los dos términos son opuestos, así que se cancelan: $0$ .
Interpretamos. Si la derivada es cero en todo el dominio, la función es constante. En efecto, $\operatorname{arc\,sen} x + \operatorname{arc\,cos} x = \pi /2$ siempre.
Respuesta: $f'(x) = 0$ , porque la suma es la constante $\pi /2$

Ejemplo 2

Derivar $f(x) = \operatorname{arc\,tg}(3x)$ .

Identificamos las partes. Afuera: el arco tangente. Adentro: $3x$ . Va cadena.
Derivamos la de afuera dejando lo de adentro quieto. $1 / (1 + (3x)^{2}) = 1 / (1 + 9x^{2})$
Derivamos lo de adentro. La derivada de $3x$ es $3$ .
Multiplicamos. $3 / (1 + 9x^{2})$
Respuesta: $f'(x) = 3 / (1 + 9x^{2})$

Error típico

Escribir la derivada del arco seno con el $x^{2}$ y el $1$ al revés. Es $\sqrt{1 - x^{2}}$ y no $\sqrt{x^{2} - 1}$ : con el orden invertido el radicando sería negativo justamente en el intervalo donde la función existe.

Practicar

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Otros subtemas de Derivadas

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