Ejercicios: Trigonométricas inversas

2. Identificamos lo de adentro. $u = 7x$, así que $u' = 7$.

3. Reemplazamos. $f'(x) = \dfrac{7}{\sqrt{1 - 49x^{2}}}$

4. Miramos el dominio. Hace falta $1 - 49x^{2} > 0$, o sea $|x| < \dfrac{1}{7}$: la derivada existe solo dentro del dominio del arcoseno, sin los bordes.

Respuesta: $f'(x) = \dfrac{7}{\sqrt{1 - 49x^{2}}}$

2. Identificamos lo de adentro. $u = 6x$ y $u' = 6$.

3. Reemplazamos. $f'(x) = \dfrac{6}{1 + 36x^{2}}$

4. Miramos el dominio. Acá no hay restricción: el denominador nunca se anula, así que la derivada existe en todos los reales, igual que la función.

Respuesta: $f'(x) = \dfrac{6}{1 + 36x^{2}}$

2. Sumamos. Los dos términos son opuestos, así que $f'(x) = 0$.

3. Interpretamos. Una función con derivada cero en todo un intervalo es constante ahí.

4. Verificamos evaluando. En $x = 0$ da $0 + \dfrac{\pi}{2}$, así que la suma vale siempre $\dfrac{\pi}{2}$: el arcocoseno es el complemento del arcoseno.

Respuesta: $f'(x) = 0$, porque la suma es la constante $\dfrac{\pi}{2}$

2. Derivamos la de afuera. $\dfrac{1}{1 + (x^{2} + 7)^{2}}$

3. Derivamos la de adentro. $(x^{2} + 7)' = 2x$

4. Multiplicamos. $f'(x) = \dfrac{2x}{1 + (x^{2} + 7)^{2}}$. Conviene dejar el denominador sin desarrollar.

Respuesta: $f'(x) = \dfrac{2x}{1 + (x^{2} + 7)^{2}}$

2. Identificamos lo de adentro. $u = 5x$, así que $u' = 5$.

3. Reemplazamos. $f'(x) = \dfrac{5}{\sqrt{1 - 25x^{2}}}$

4. Miramos el dominio. Hace falta $1 - 25x^{2} > 0$, o sea $|x| < \dfrac{1}{5}$: la derivada existe solo dentro del dominio del arcoseno, sin los bordes.

Respuesta: $f'(x) = \dfrac{5}{\sqrt{1 - 25x^{2}}}$

2. Identificamos lo de adentro. $u = 2x$ y $u' = 2$.

3. Reemplazamos. $f'(x) = \dfrac{2}{1 + 4x^{2}}$

4. Miramos el dominio. Acá no hay restricción: el denominador nunca se anula, así que la derivada existe en todos los reales, igual que la función.

Respuesta: $f'(x) = \dfrac{2}{1 + 4x^{2}}$

2. Derivamos cada factor. $(7x)' = 7$ y $(\operatorname{arc\,tg} x)' = \dfrac{1}{1 + x^{2}}$.

3. Aplicamos la regla. $f'(x) = 7\operatorname{arc\,tg} x + \dfrac{7x}{1 + x^{2}}$

4. Chequeamos el dominio. El arcotangente y su derivada existen en todos los reales, así que la expresión vale en todo $\mathbb{R}$.

Respuesta: $f'(x) = 7\operatorname{arc\,tg} x + \dfrac{7x}{1 + x^{2}}$

2. Derivamos la de afuera. $\dfrac{1}{1 + (x^{2} + 4)^{2}}$

3. Derivamos la de adentro. $(x^{2} + 4)' = 2x$

4. Multiplicamos. $f'(x) = \dfrac{2x}{1 + (x^{2} + 4)^{2}}$. Conviene dejar el denominador sin desarrollar.

Respuesta: $f'(x) = \dfrac{2x}{1 + (x^{2} + 4)^{2}}$

2. Identificamos lo de adentro. $u = 4x$, así que $u' = 4$.

3. Reemplazamos. $f'(x) = \dfrac{4}{\sqrt{1 - 16x^{2}}}$

4. Miramos el dominio. Hace falta $1 - 16x^{2} > 0$, o sea $|x| < \dfrac{1}{4}$: la derivada existe solo dentro del dominio del arcoseno, sin los bordes.

Respuesta: $f'(x) = \dfrac{4}{\sqrt{1 - 16x^{2}}}$

2. Identificamos lo de adentro. $u = 4x$ y $u' = 4$.

3. Reemplazamos. $f'(x) = \dfrac{4}{1 + 16x^{2}}$

4. Miramos el dominio. Acá no hay restricción: el denominador nunca se anula, así que la derivada existe en todos los reales, igual que la función.

Respuesta: $f'(x) = \dfrac{4}{1 + 16x^{2}}$

2. Identificamos lo de adentro. $u = 2x$, así que $u' = 2$.

3. Reemplazamos. $f'(x) = -\dfrac{2}{\sqrt{1 - 4x^{2}}}$

4. Comparamos. Es la misma expresión que la del arcoseno pero con signo cambiado, porque las dos funciones suman una constante.

Respuesta: $f'(x) = -\dfrac{2}{\sqrt{1 - 4x^{2}}}$

2. Derivamos la de afuera. $\dfrac{1}{1 + (x^{2} + 3)^{2}}$

3. Derivamos la de adentro. $(x^{2} + 3)' = 2x$

4. Multiplicamos. $f'(x) = \dfrac{2x}{1 + (x^{2} + 3)^{2}}$. Conviene dejar el denominador sin desarrollar.

Respuesta: $f'(x) = \dfrac{2x}{1 + (x^{2} + 3)^{2}}$