Método

Ejercicios: Combinar reglas

se identifica de afuera y se resuelve al revés

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Derivá f(x)=x(7x+1)2f(x) = x(7x + 1)^{2}.

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1. Identificamos la regla principal. La última operación al evaluar sería multiplicar, así que la regla principal es la del producto.

2. Escribimos la estructura. f′=1⋅(7x+1)2+x⋅[(7x+1)2]′f' = 1 \cdot (7x + 1)^{2} + x \cdot \left[(7x + 1)^{2}\right]'

3. Resolvemos la pieza pendiente con la cadena. [(7x+1)2]′=2(7x+1)1⋅7\left[(7x + 1)^{2}\right]' = 2(7x + 1)^{1} \cdot 7

4. Armamos y sacamos factor común. f′(x)=(7x+1)(21x+1)f'(x) = \left(7 x + 1\right) \left(21 x + 1\right)

Respuesta: f′(x)=(7x+1)(21x+1)f'(x) = \left(7 x + 1\right) \left(21 x + 1\right)

2. Derivá f(x)=e3xx+1f(x) = \dfrac{e^{3x}}{x + 1}.

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1. Identificamos la regla principal. Lo último que se haría al evaluar es dividir, así que arranca la regla del cociente.

2. Derivamos el numerador con la cadena. (e3x)′=3e3x\left(e^{3x}\right)' = 3e^{3x}

3. Aplicamos la regla del cociente. f′=3e3x(x+1)−e3x⋅1(x+1)2f' = \dfrac{3e^{3x}(x + 1) - e^{3x} \cdot 1}{(x + 1)^{2}}

4. Sacamos factor común arriba. f′(x)=(3x+2)e3xx2+2x+1f'(x) = \dfrac{\left(3 x + 2\right) e^{3 x}}{x^{2} + 2 x + 1}

Respuesta: f′(x)=(3x+2)e3xx2+2x+1f'(x) = \dfrac{\left(3 x + 2\right) e^{3 x}}{x^{2} + 2 x + 1}

3. Derivá f(x)=sen⁡((3x+2)2)f(x) = \operatorname{sen}\left((3 x + 2)^{2}\right).

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1. Reconocemos que hay dos composiciones. De afuera hacia adentro: seno, después el cuadrado, y adentro de todo 3x+23 x + 2.

2. Derivamos la más externa. cos⁡((3x+2)2)\cos\left((3 x + 2)^{2}\right), dejando el interior intacto.

3. Derivamos la del medio. ((3x+2)2)′=2(3x+2)⋅3\left((3 x + 2)^{2}\right)' = 2(3 x + 2) \cdot 3

4. Multiplicamos todo. f′(x)=(18x+12)cos⁡((3x+2)2)f'(x) = \left(18 x + 12\right) \cos{\left(\left(3 x + 2\right)^{2} \right)}. La cadena se aplica tantas veces como capas haya.

Respuesta: f′(x)=(18x+12)cos⁡((3x+2)2)f'(x) = \left(18 x + 12\right) \cos{\left(\left(3 x + 2\right)^{2} \right)}

4. Identificá cuál es la regla principal para derivar f(x)=x2ln⁡xf(x) = x^{2}\ln x y derivala.

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1. Miramos cuál sería la última operación. Al evaluar, lo último que se haría es multiplicar los dos resultados: la regla principal es la del producto.

2. Escribimos la estructura. f′=(x2)′ln⁡x+x2(ln⁡x)′f' = (x^{2})'\ln x + x^{2}(\ln x)'

3. Derivamos cada pieza. (x2)′=2x(x^{2})' = 2x y (ln⁡x)′=1x(\ln x)' = \dfrac{1}{x}.

4. Armamos y simplificamos. f′(x)=x(2log⁡(x)+1)f'(x) = x \left(2 \log{\left(x \right)} + 1\right), válida para x>0x > 0.

Respuesta: la principal es la del producto, y f′(x)=x(2log⁡(x)+1)f'(x) = x \left(2 \log{\left(x \right)} + 1\right)

5. Derivá f(x)=x(4x+1)4f(x) = x(4x + 1)^{4}.

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1. Identificamos la regla principal. La última operación al evaluar sería multiplicar, así que la regla principal es la del producto.

2. Escribimos la estructura. f′=1⋅(4x+1)4+x⋅[(4x+1)4]′f' = 1 \cdot (4x + 1)^{4} + x \cdot \left[(4x + 1)^{4}\right]'

3. Resolvemos la pieza pendiente con la cadena. [(4x+1)4]′=4(4x+1)3⋅4\left[(4x + 1)^{4}\right]' = 4(4x + 1)^{3} \cdot 4

4. Armamos y sacamos factor común. f′(x)=(4x+1)3(20x+1)f'(x) = \left(4 x + 1\right)^{3} \left(20 x + 1\right)

Respuesta: f′(x)=(4x+1)3(20x+1)f'(x) = \left(4 x + 1\right)^{3} \left(20 x + 1\right)

6. Derivá f(x)=e4xx+5f(x) = \dfrac{e^{4x}}{x + 5}.

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1. Identificamos la regla principal. Lo último que se haría al evaluar es dividir, así que arranca la regla del cociente.

2. Derivamos el numerador con la cadena. (e4x)′=4e4x\left(e^{4x}\right)' = 4e^{4x}

3. Aplicamos la regla del cociente. f′=4e4x(x+5)−e4x⋅1(x+5)2f' = \dfrac{4e^{4x}(x + 5) - e^{4x} \cdot 1}{(x + 5)^{2}}

4. Sacamos factor común arriba. f′(x)=(4x+19)e4xx2+10x+25f'(x) = \dfrac{\left(4 x + 19\right) e^{4 x}}{x^{2} + 10 x + 25}

Respuesta: f′(x)=(4x+19)e4xx2+10x+25f'(x) = \dfrac{\left(4 x + 19\right) e^{4 x}}{x^{2} + 10 x + 25}

7. Derivá f(x)=sen⁡((7x+3)2)f(x) = \operatorname{sen}\left((7 x + 3)^{2}\right).

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1. Reconocemos que hay dos composiciones. De afuera hacia adentro: seno, después el cuadrado, y adentro de todo 7x+37 x + 3.

2. Derivamos la más externa. cos⁡((7x+3)2)\cos\left((7 x + 3)^{2}\right), dejando el interior intacto.

3. Derivamos la del medio. ((7x+3)2)′=2(7x+3)⋅7\left((7 x + 3)^{2}\right)' = 2(7 x + 3) \cdot 7

4. Multiplicamos todo. f′(x)=(98x+42)cos⁡((7x+3)2)f'(x) = \left(98 x + 42\right) \cos{\left(\left(7 x + 3\right)^{2} \right)}. La cadena se aplica tantas veces como capas haya.

Respuesta: f′(x)=(98x+42)cos⁡((7x+3)2)f'(x) = \left(98 x + 42\right) \cos{\left(\left(7 x + 3\right)^{2} \right)}

8. Identificá cuál es la regla principal para derivar f(x)=x+5x2+2f(x) = \dfrac{x + 5}{x^{2} + 2} y derivala.

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1. Miramos cuál sería la última operación. Lo último sería dividir, así que la regla principal es la del cociente.

2. Derivamos arriba y abajo. (x+5)′=1(x + 5)' = 1 y (x2+2)′=2x(x^{2} + 2)' = 2x.

3. Aplicamos la regla. f′=1⋅(x2+2)−(x+5)⋅2x(x2+2)2f' = \dfrac{1 \cdot (x^{2} + 2) - (x + 5) \cdot 2x}{(x^{2} + 2)^{2}}

4. Desarrollamos el numerador. f′(x)=x2−2x(x+5)+2(x2+2)2f'(x) = \dfrac{x^{2} - 2 x \left(x + 5\right) + 2}{\left(x^{2} + 2\right)^{2}}

Respuesta: la principal es la del cociente, y f′(x)=x2−2x(x+5)+2(x2+2)2f'(x) = \dfrac{x^{2} - 2 x \left(x + 5\right) + 2}{\left(x^{2} + 2\right)^{2}}

9. Derivá f(x)=x(2x+1)3f(x) = x(2x + 1)^{3}.

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1. Identificamos la regla principal. La última operación al evaluar sería multiplicar, así que la regla principal es la del producto.

2. Escribimos la estructura. f′=1⋅(2x+1)3+x⋅[(2x+1)3]′f' = 1 \cdot (2x + 1)^{3} + x \cdot \left[(2x + 1)^{3}\right]'

3. Resolvemos la pieza pendiente con la cadena. [(2x+1)3]′=3(2x+1)2⋅2\left[(2x + 1)^{3}\right]' = 3(2x + 1)^{2} \cdot 2

4. Armamos y sacamos factor común. f′(x)=(2x+1)2(8x+1)f'(x) = \left(2 x + 1\right)^{2} \left(8 x + 1\right)

Respuesta: f′(x)=(2x+1)2(8x+1)f'(x) = \left(2 x + 1\right)^{2} \left(8 x + 1\right)

10. Derivá f(x)=e6xx+1f(x) = \dfrac{e^{6x}}{x + 1}.

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1. Identificamos la regla principal. Lo último que se haría al evaluar es dividir, así que arranca la regla del cociente.

2. Derivamos el numerador con la cadena. (e6x)′=6e6x\left(e^{6x}\right)' = 6e^{6x}

3. Aplicamos la regla del cociente. f′=6e6x(x+1)−e6x⋅1(x+1)2f' = \dfrac{6e^{6x}(x + 1) - e^{6x} \cdot 1}{(x + 1)^{2}}

4. Sacamos factor común arriba. f′(x)=(6x+5)e6xx2+2x+1f'(x) = \dfrac{\left(6 x + 5\right) e^{6 x}}{x^{2} + 2 x + 1}

Respuesta: f′(x)=(6x+5)e6xx2+2x+1f'(x) = \dfrac{\left(6 x + 5\right) e^{6 x}}{x^{2} + 2 x + 1}

11. Derivá f(x)=sen⁡((4x+1)2)f(x) = \operatorname{sen}\left((4 x + 1)^{2}\right).

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1. Reconocemos que hay dos composiciones. De afuera hacia adentro: seno, después el cuadrado, y adentro de todo 4x+14 x + 1.

2. Derivamos la más externa. cos⁡((4x+1)2)\cos\left((4 x + 1)^{2}\right), dejando el interior intacto.

3. Derivamos la del medio. ((4x+1)2)′=2(4x+1)⋅4\left((4 x + 1)^{2}\right)' = 2(4 x + 1) \cdot 4

4. Multiplicamos todo. f′(x)=(32x+8)cos⁡((4x+1)2)f'(x) = \left(32 x + 8\right) \cos{\left(\left(4 x + 1\right)^{2} \right)}. La cadena se aplica tantas veces como capas haya.

Respuesta: f′(x)=(32x+8)cos⁡((4x+1)2)f'(x) = \left(32 x + 8\right) \cos{\left(\left(4 x + 1\right)^{2} \right)}

12. Identificá cuál es la regla principal para derivar f(x)=x2+2f(x) = \sqrt{x^{2} + 2} y derivala.

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1. Miramos cuál sería la última operación. Al evaluar, lo último sería tomar la raíz de un resultado: es una composición, así que manda la regla de la cadena.

2. Derivamos la de afuera. 12x2+2\dfrac{1}{2\sqrt{x^{2} + 2}}

3. Derivamos la de adentro. (x2+2)′=2x(x^{2} + 2)' = 2x

4. Multiplicamos. f′(x)=xx2+2f'(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^{2} + 2}}

Respuesta: la principal es la de la cadena, y f′(x)=xx2+2f'(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^{2} + 2}}

Integradores de Derivadas: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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