Combinar reglas

Derivar $f(x) = (x^{2} + 1)^{3} \cdot e^{x}$.

Identificamos la última operación. Es una multiplicación entre $(x^{2} + 1)^{3}$ y $e^{x}$, así que va la regla del producto.
Aplicamos el producto dejando indicada la derivada difícil. $[ (x^{2} + 1)^{3} ] ' \cdot e^{x} + (x^{2} + 1)^{3} \cdot e^{x}$
Calculamos aparte la derivada indicada, con la cadena. Afuera elevar al cubo, adentro $x^{2} + 1$ que deriva en $2x$. Da $3(x^{2} + 1)^{2} \cdot 2x = 6x(x^{2} + 1)^{2}$.
Reemplazamos. $6x(x^{2} + 1)^{2} e^{x} + (x^{2} + 1)^{3} e^{x}$
Sacamos factor común. $(x^{2} + 1)^{2} e^{x} [ 6x + x^{2} + 1 ]$
Respuesta: $f'(x) = (x^{2} + 1)^{2} e^{x} (x^{2} + 6x + 1)$

Derivar $f(x) = \operatorname{sen}^{2}(x)$.

Identificamos la última operación. $\operatorname{sen}^{2}(x)$ significa $(\operatorname{sen} x)^{2}$: lo último es elevar al cuadrado, así que va la cadena.
Derivamos la de afuera dejando lo de adentro quieto. $2 (\operatorname{sen} x)^{1} = 2 \operatorname{sen} x$
Derivamos lo de adentro. La derivada de $\operatorname{sen} x$ es $\cos x$.
Multiplicamos. $2 \operatorname{sen} x \cdot \cos x$
Respuesta: $f'(x) = 2 \operatorname{sen} x \cos x$, que también es $\operatorname{sen}(2x)$