La regla de la potencia

La regla de la potencia dice que para derivar una potencia se baja el exponente multiplicando y se le resta uno al exponente que queda arriba.

Es la regla más usada de todas, y vale para cualquier exponente: enteros, fraccionarios y negativos. Eso la vuelve mucho más amplia de lo que parece a primera vista.

Las raíces entran acá, porque una raíz es una potencia de exponente fraccionario. Reescribir la raíz como potencia antes de derivar convierte un problema aparentemente distinto en una aplicación directa de la regla.

Lo mismo pasa con las fracciones que tienen la variable en el denominador. Subirlas cambiando el signo del exponente evita tener que usar la regla del cociente.

Dos casos particulares que conviene tener claros. La derivada de una constante es cero, porque una constante no cambia. Y la derivada de la variable sola es uno, que es lo que da al aplicar la regla con exponente uno.

( x^{n} ) ' = n \cdot x^{n-1}

Cuándo se usa

Con cualquier potencia de la variable. Antes de derivar, reescribí las raíces como exponentes fraccionarios y subí los denominadores con exponente negativo: casi siempre eso convierte el ejercicio en una aplicación directa.

Ejemplo 1

Derivar $f(x) = x^{7}$ y $g(x) = 1/x^{2}$ .

Para la primera aplicamos la regla directo. El $7$ baja y arriba queda $6$ : $f'(x) = 7x^{6}$ .
Para la segunda primero reescribimos. $1/x^{2} = x^{-2}$
Ahora aplicamos la regla. El $-2$ baja y arriba queda $-3$ : $g'(x) = -2x^{-3}$ .
Si conviene, volvemos a la forma de fracción. $g'(x) = -2 / x^{3}$
Respuesta: $f'(x) = 7x^{6}$ y $g'(x) = -2/x^{3}$

Ejemplo 2

Derivar $f(x) = \sqrt{x}$ y evaluar en $x = 9$ .

Reescribimos la raíz como potencia. $\sqrt{x} = x^(1/2)$
Aplicamos la regla. Baja el $1/2$ y arriba queda $1/2 - 1 = -1/2$ : $f'(x) = (1/2) x^(-1/2)$ .
Reescribimos en forma de fracción. $f'(x) = 1 / (2\sqrt{x})$
Evaluamos en $9$ . $1 / (2 \cdot 3) = 1/6$
Respuesta: $f'(x) = 1/(2\sqrt{x})$ y $f'(9) = 1/6$

Error típico

Restar mal el exponente cuando es negativo o fraccionario. La derivada de $x^{-3}$ es $-3x^{-4}$ y no $-3x^{-2}$ : siempre se resta uno, aunque el número se vaya para abajo.

Practicar

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Otros subtemas de Derivadas

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