Método

Ejercicios: La regla de la potencia

(xn)′=n⋅xn−1( x^{n} ) ' = n \cdot x^{n-1}

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Derivá f(x)=x6+x4f(x) = x^{6} + x^{4}.

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1. Recordamos la regla. En una potencia se baja el exponente multiplicando y se le resta uno al que queda arriba.

2. Derivamos el primer término. (x4)′=4x3\left(x^{4}\right)' = 4x^{3}

3. Derivamos el segundo. (x6)′=6x5\left(x^{6}\right)' = 6x^{5}

4. Sumamos. f′(x)=x3(6x2+4)f'(x) = x^{3} \left(6 x^{2} + 4\right)

Respuesta: f′(x)=x3(6x2+4)f'(x) = x^{3} \left(6 x^{2} + 4\right)

2. Derivá f(x)=x7f(x) = \sqrt[7]{x}.

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1. Reescribimos la raíz como potencia. x7=x17\sqrt[7]{x} = x^{\frac{1}{7}}: así entra en la regla de la potencia, que vale también para exponentes fraccionarios.

2. Aplicamos la regla. Bajamos el exponente y le restamos uno: 17x17−1\dfrac{1}{7}x^{\frac{1}{7} - 1}.

3. Hacemos la resta del exponente. 17−1=−67\dfrac{1}{7} - 1 = - \dfrac{6}{7}

4. Escribimos el resultado. f′(x)=17x67f'(x) = \dfrac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}, que también se puede escribir con la potencia en el denominador.

Respuesta: f′(x)=17x67f'(x) = \dfrac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}

3. Derivá f(x)=1x2f(x) = \dfrac{1}{x^{2}}.

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1. Reescribimos con exponente negativo. 1x2=x−2\dfrac{1}{x^{2}} = x^{-2}

2. Aplicamos la regla de la potencia. Bajamos el −2-2 y le restamos uno al exponente: −2x−3-2x^{-3}.

3. Volvemos a escribirlo como fracción. f′(x)=−2x3f'(x) = - \dfrac{2}{x^{3}}

4. Chequeamos el signo. Es negativo, y tiene sentido: la función decrece para x>0x > 0, porque el denominador crece.

Respuesta: f′(x)=−2x3f'(x) = - \dfrac{2}{x^{3}}

4. Derivá f(x)=5x3xf(x) = 5x^{3}\sqrt{x} reescribiéndola antes.

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1. Escribimos la raíz como potencia. x=x12\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}

2. Juntamos las potencias. Al multiplicar potencias de la misma base se suman los exponentes: 5x725x^{\dfrac{7}{2}}.

3. Aplicamos la regla de la potencia. Bajamos 72\dfrac{7}{2} y restamos uno al exponente.

4. Escribimos el resultado. f′(x)=35x522f'(x) = \dfrac{35 x^{\frac{5}{2}}}{2}. Reescribir antes de derivar convierte el ejercicio en una aplicación directa de la regla.

Respuesta: f′(x)=35x522f'(x) = \dfrac{35 x^{\frac{5}{2}}}{2}

5. Derivá f(x)=x8+x5f(x) = x^{8} + x^{5}.

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1. Recordamos la regla. En una potencia se baja el exponente multiplicando y se le resta uno al que queda arriba.

2. Derivamos el primer término. (x8)′=8x7\left(x^{8}\right)' = 8x^{7}

3. Derivamos el segundo. (x5)′=5x4\left(x^{5}\right)' = 5x^{4}

4. Sumamos. f′(x)=x4(8x3+5)f'(x) = x^{4} \left(8 x^{3} + 5\right)

Respuesta: f′(x)=x4(8x3+5)f'(x) = x^{4} \left(8 x^{3} + 5\right)

6. Derivá f(x)=x8f(x) = \sqrt[8]{x}.

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1. Reescribimos la raíz como potencia. x8=x18\sqrt[8]{x} = x^{\frac{1}{8}}: así entra en la regla de la potencia, que vale también para exponentes fraccionarios.

2. Aplicamos la regla. Bajamos el exponente y le restamos uno: 18x18−1\dfrac{1}{8}x^{\frac{1}{8} - 1}.

3. Hacemos la resta del exponente. 18−1=−78\dfrac{1}{8} - 1 = - \dfrac{7}{8}

4. Escribimos el resultado. f′(x)=18x78f'(x) = \dfrac{1}{8 x^{\frac{7}{8}}}, que también se puede escribir con la potencia en el denominador.

Respuesta: f′(x)=18x78f'(x) = \dfrac{1}{8 x^{\frac{7}{8}}}

7. Derivá f(x)=1x3f(x) = \dfrac{1}{x^{3}}.

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1. Reescribimos con exponente negativo. 1x3=x−3\dfrac{1}{x^{3}} = x^{-3}

2. Aplicamos la regla de la potencia. Bajamos el −3-3 y le restamos uno al exponente: −3x−4-3x^{-4}.

3. Volvemos a escribirlo como fracción. f′(x)=−3x4f'(x) = - \dfrac{3}{x^{4}}

4. Chequeamos el signo. Es negativo, y tiene sentido: la función decrece para x>0x > 0, porque el denominador crece.

Respuesta: f′(x)=−3x4f'(x) = - \dfrac{3}{x^{4}}

8. Derivá f(x)=4x2xf(x) = 4x^{2}\sqrt{x} reescribiéndola antes.

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1. Escribimos la raíz como potencia. x=x12\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}

2. Juntamos las potencias. Al multiplicar potencias de la misma base se suman los exponentes: 4x524x^{\dfrac{5}{2}}.

3. Aplicamos la regla de la potencia. Bajamos 52\dfrac{5}{2} y restamos uno al exponente.

4. Escribimos el resultado. f′(x)=10x32f'(x) = 10 x^{\frac{3}{2}}. Reescribir antes de derivar convierte el ejercicio en una aplicación directa de la regla.

Respuesta: f′(x)=10x32f'(x) = 10 x^{\frac{3}{2}}

9. Derivá f(x)=x7+x2f(x) = x^{7} + x^{2}.

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1. Recordamos la regla. En una potencia se baja el exponente multiplicando y se le resta uno al que queda arriba.

2. Derivamos el primer término. (x7)′=7x6\left(x^{7}\right)' = 7x^{6}

3. Derivamos el segundo. (x2)′=2x1\left(x^{2}\right)' = 2x^{1}

4. Sumamos. f′(x)=x(7x5+2)f'(x) = x \left(7 x^{5} + 2\right)

Respuesta: f′(x)=x(7x5+2)f'(x) = x \left(7 x^{5} + 2\right)

10. Derivá f(x)=x6f(x) = \sqrt[6]{x}.

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1. Reescribimos la raíz como potencia. x6=x16\sqrt[6]{x} = x^{\frac{1}{6}}: así entra en la regla de la potencia, que vale también para exponentes fraccionarios.

2. Aplicamos la regla. Bajamos el exponente y le restamos uno: 16x16−1\dfrac{1}{6}x^{\frac{1}{6} - 1}.

3. Hacemos la resta del exponente. 16−1=−56\dfrac{1}{6} - 1 = - \dfrac{5}{6}

4. Escribimos el resultado. f′(x)=16x56f'(x) = \dfrac{1}{6 x^{\frac{5}{6}}}, que también se puede escribir con la potencia en el denominador.

Respuesta: f′(x)=16x56f'(x) = \dfrac{1}{6 x^{\frac{5}{6}}}

11. Derivá f(x)=1x4f(x) = \dfrac{1}{x^{4}}.

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1. Reescribimos con exponente negativo. 1x4=x−4\dfrac{1}{x^{4}} = x^{-4}

2. Aplicamos la regla de la potencia. Bajamos el −4-4 y le restamos uno al exponente: −4x−5-4x^{-5}.

3. Volvemos a escribirlo como fracción. f′(x)=−4x5f'(x) = - \dfrac{4}{x^{5}}

4. Chequeamos el signo. Es negativo, y tiene sentido: la función decrece para x>0x > 0, porque el denominador crece.

Respuesta: f′(x)=−4x5f'(x) = - \dfrac{4}{x^{5}}

12. Derivá f(x)=6x3xf(x) = 6x^{3}\sqrt{x} reescribiéndola antes.

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1. Escribimos la raíz como potencia. x=x12\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}

2. Juntamos las potencias. Al multiplicar potencias de la misma base se suman los exponentes: 6x726x^{\dfrac{7}{2}}.

3. Aplicamos la regla de la potencia. Bajamos 72\dfrac{7}{2} y restamos uno al exponente.

4. Escribimos el resultado. f′(x)=21x52f'(x) = 21 x^{\frac{5}{2}}. Reescribir antes de derivar convierte el ejercicio en una aplicación directa de la regla.

Respuesta: f′(x)=21x52f'(x) = 21 x^{\frac{5}{2}}

Integradores de Derivadas: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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