Método

Ejercicios: Suma, resta y constante por función

(f±g)′=f′±g′(k⋅f)′=k⋅f′( f \pm g ) ' = f' \pm g' ( k \cdot f ) ' = k \cdot f'

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Derivá f(x)=2x3+7x2−4x+8f(x) = 2 x^{3} + 7 x^{2} - 4 x + 8.

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1. Usamos que la derivada de una suma es la suma de las derivadas. Eso permite derivar término por término, sin mirar el resto.

2. Derivamos los dos primeros términos. (2x3)′=6x2\left(2 x^{3}\right)' = 6 x^{2} y (7x2)′=14x\left(7 x^{2}\right)' = 14 x

3. Derivamos los dos últimos. (−4x)′=−4\left(- 4 x\right)' = -4, y la derivada de la constante 88 es 00, porque una constante no cambia.

4. Armamos el resultado. f′(x)=6x2+14x−4f'(x) = 6 x^{2} + 14 x - 4

Respuesta: f′(x)=6x2+14x−4f'(x) = 6 x^{2} + 14 x - 4

2. Derivá f(x)=6x4f(x) = 6x^{4} y explicá qué pasa con la constante.

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1. Usamos la propiedad de la constante. Un número que multiplica sale afuera de la derivada: (6x4)′=6(x4)′\left(6x^{4}\right)' = 6\left(x^{4}\right)'.

2. Derivamos lo que queda. (x4)′=4x3\left(x^{4}\right)' = 4x^{3}

3. Multiplicamos. f′(x)=24x3f'(x) = 24 x^{3}

4. Marcamos la diferencia con la constante sumada. Una constante que multiplica se conserva; una que se suma desaparece al derivar.

Respuesta: f′(x)=24x3f'(x) = 24 x^{3}

3. Derivá f(x)=2x3−5xf(x) = 2 x^{3} - 5 x y evaluá la derivada en x=2x = 2.

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1. Derivamos término a término. (2x3)′=6x2\left(2 x^{3}\right)' = 6 x^{2} y (−5x)′=−5\left(- 5 x\right)' = -5

2. Escribimos la derivada. f′(x)=6x2−5f'(x) = 6 x^{2} - 5

3. Evaluamos en el punto. f′(2)=6(2)2−5=19f'(2) = 6 (2)^{2} - 5 = 19

4. Interpretamos. Como 1919 es positivo, en x=2x = 2 la función está creciendo.

Respuesta: f′(x)=6x2−5f'(x) = 6 x^{2} - 5 y f′(2)=19f'(2) = 19

4. Derivá f(x)=4x−3xf(x) = 4\sqrt{x} - \dfrac{3}{x}.

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1. Reescribimos los dos términos como potencias. 4x=4x1/24\sqrt{x} = 4x^{1/2} y 3x=3x−1\dfrac{3}{x} = 3x^{-1}.

2. Derivamos el primero. La constante sale afuera y queda 4⋅12x−1/2=2x4 \cdot \dfrac{1}{2}x^{-1/2} = \dfrac{2}{\sqrt{x}}.

3. Derivamos el segundo. (3x−1)′=−3x−2\left(3x^{-1}\right)' = -3x^{-2}, así que al restarlo queda 3x2\dfrac{3}{x^{2}}.

4. Sumamos. f′(x)=3x2+2xf'(x) = \dfrac{3}{x^{2}} + \dfrac{2}{\sqrt{x}}

Respuesta: f′(x)=3x2+2xf'(x) = \dfrac{3}{x^{2}} + \dfrac{2}{\sqrt{x}}

5. Derivá f(x)=5x3+x2−6x+2f(x) = 5 x^{3} + x^{2} - 6 x + 2.

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1. Usamos que la derivada de una suma es la suma de las derivadas. Eso permite derivar término por término, sin mirar el resto.

2. Derivamos los dos primeros términos. (5x3)′=15x2\left(5 x^{3}\right)' = 15 x^{2} y (x2)′=2x\left(x^{2}\right)' = 2 x

3. Derivamos los dos últimos. (−6x)′=−6\left(- 6 x\right)' = -6, y la derivada de la constante 22 es 00, porque una constante no cambia.

4. Armamos el resultado. f′(x)=15x2+2x−6f'(x) = 15 x^{2} + 2 x - 6

Respuesta: f′(x)=15x2+2x−6f'(x) = 15 x^{2} + 2 x - 6

6. Derivá f(x)=5x3f(x) = 5x^{3} y explicá qué pasa con la constante.

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1. Usamos la propiedad de la constante. Un número que multiplica sale afuera de la derivada: (5x3)′=5(x3)′\left(5x^{3}\right)' = 5\left(x^{3}\right)'.

2. Derivamos lo que queda. (x3)′=3x2\left(x^{3}\right)' = 3x^{2}

3. Multiplicamos. f′(x)=15x2f'(x) = 15 x^{2}

4. Marcamos la diferencia con la constante sumada. Una constante que multiplica se conserva; una que se suma desaparece al derivar.

Respuesta: f′(x)=15x2f'(x) = 15 x^{2}

7. Derivá f(x)=4x3−2xf(x) = 4 x^{3} - 2 x y evaluá la derivada en x=3x = 3.

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1. Derivamos término a término. (4x3)′=12x2\left(4 x^{3}\right)' = 12 x^{2} y (−2x)′=−2\left(- 2 x\right)' = -2

2. Escribimos la derivada. f′(x)=12x2−2f'(x) = 12 x^{2} - 2

3. Evaluamos en el punto. f′(3)=12(3)2−2=106f'(3) = 12 (3)^{2} - 2 = 106

4. Interpretamos. Como 106106 es positivo, en x=3x = 3 la función está creciendo.

Respuesta: f′(x)=12x2−2f'(x) = 12 x^{2} - 2 y f′(3)=106f'(3) = 106

8. Derivá f(x)=10x−1xf(x) = 10\sqrt{x} - \dfrac{1}{x}.

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1. Reescribimos los dos términos como potencias. 10x=10x1/210\sqrt{x} = 10x^{1/2} y 1x=x−1\dfrac{1}{x} = x^{-1}.

2. Derivamos el primero. La constante sale afuera y queda 10⋅12x−1/2=5x10 \cdot \dfrac{1}{2}x^{-1/2} = \dfrac{5}{\sqrt{x}}.

3. Derivamos el segundo. (x−1)′=−x−2\left(x^{-1}\right)' = -x^{-2}, así que al restarlo queda 1x2\dfrac{1}{x^{2}}.

4. Sumamos. f′(x)=1x2+5xf'(x) = \dfrac{1}{x^{2}} + \dfrac{5}{\sqrt{x}}

Respuesta: f′(x)=1x2+5xf'(x) = \dfrac{1}{x^{2}} + \dfrac{5}{\sqrt{x}}

9. Derivá f(x)=2x3+4x2−x+3f(x) = 2 x^{3} + 4 x^{2} - x + 3.

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1. Usamos que la derivada de una suma es la suma de las derivadas. Eso permite derivar término por término, sin mirar el resto.

2. Derivamos los dos primeros términos. (2x3)′=6x2\left(2 x^{3}\right)' = 6 x^{2} y (4x2)′=8x\left(4 x^{2}\right)' = 8 x

3. Derivamos los dos últimos. (−x)′=−1\left(- x\right)' = -1, y la derivada de la constante 33 es 00, porque una constante no cambia.

4. Armamos el resultado. f′(x)=6x2+8x−1f'(x) = 6 x^{2} + 8 x - 1

Respuesta: f′(x)=6x2+8x−1f'(x) = 6 x^{2} + 8 x - 1

10. Derivá f(x)=4x6f(x) = 4x^{6} y explicá qué pasa con la constante.

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1. Usamos la propiedad de la constante. Un número que multiplica sale afuera de la derivada: (4x6)′=4(x6)′\left(4x^{6}\right)' = 4\left(x^{6}\right)'.

2. Derivamos lo que queda. (x6)′=6x5\left(x^{6}\right)' = 6x^{5}

3. Multiplicamos. f′(x)=24x5f'(x) = 24 x^{5}

4. Marcamos la diferencia con la constante sumada. Una constante que multiplica se conserva; una que se suma desaparece al derivar.

Respuesta: f′(x)=24x5f'(x) = 24 x^{5}

11. Derivá f(x)=x3−6xf(x) = x^{3} - 6 x y evaluá la derivada en x=2x = 2.

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1. Derivamos término a término. (x3)′=3x2\left(x^{3}\right)' = 3 x^{2} y (−6x)′=−6\left(- 6 x\right)' = -6

2. Escribimos la derivada. f′(x)=3x2−6f'(x) = 3 x^{2} - 6

3. Evaluamos en el punto. f′(2)=3(2)2−6=6f'(2) = 3 (2)^{2} - 6 = 6

4. Interpretamos. Como 66 es positivo, en x=2x = 2 la función está creciendo.

Respuesta: f′(x)=3x2−6f'(x) = 3 x^{2} - 6 y f′(2)=6f'(2) = 6

12. Derivá f(x)=12x−4xf(x) = 12\sqrt{x} - \dfrac{4}{x}.

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1. Reescribimos los dos términos como potencias. 12x=12x1/212\sqrt{x} = 12x^{1/2} y 4x=4x−1\dfrac{4}{x} = 4x^{-1}.

2. Derivamos el primero. La constante sale afuera y queda 12⋅12x−1/2=6x12 \cdot \dfrac{1}{2}x^{-1/2} = \dfrac{6}{\sqrt{x}}.

3. Derivamos el segundo. (4x−1)′=−4x−2\left(4x^{-1}\right)' = -4x^{-2}, así que al restarlo queda 4x2\dfrac{4}{x^{2}}.

4. Sumamos. f′(x)=4x2+6xf'(x) = \dfrac{4}{x^{2}} + \dfrac{6}{\sqrt{x}}

Respuesta: f′(x)=4x2+6xf'(x) = \dfrac{4}{x^{2}} + \dfrac{6}{\sqrt{x}}

Integradores de Derivadas: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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