Ejercicios: Exponenciales y logaritmos

( e^{x} ) ' = e^{x} ( \ln x ) ' = 1 / x

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Derivá $f(x) = 7e^{x} + 5x^{2}$ .

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1. Derivamos el primer término. La exponencial de base $e$ es su propia derivada, y la constante sale afuera: queda $7e^{x}$ .

2. Derivamos el segundo. Por la regla de la potencia, $10x$ .

3. Sumamos. $f'(x) = 10 x + 7 e^{x}$

4. Notamos lo llamativo. El término exponencial queda igual después de derivar: es la única función, salvo múltiplos, que cumple eso.

Respuesta: $f'(x) = 10 x + 7 e^{x}$

2. Derivá $f(x) = 7^{x}$ .

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1. Escribimos la base en términos de $e$ . $7^{x} = e^{x\ln 7}$ , usando que $e^{\ln 7} = 7$ .

2. Derivamos con la regla de la cadena. La derivada de la exponencial es ella misma, multiplicada por la derivada del exponente, que es $\ln 7$ .

3. Escribimos el resultado. $f'(x) = 7^{x}\ln 7$

4. Chequeamos el caso conocido. Si la base fuera $e$ , ese factor valdría $1$ y desaparecería: por eso $e^{x}$ es su propia derivada.

Respuesta: $f'(x) = 7^{x}\ln 7$

3. Derivá $f(x) = 3\ln x$ y $g(x) = \log_{2} x$ .

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1. Derivamos la primera. La derivada de $\ln x$ es $\dfrac{1}{x}$ , y la constante sale afuera: $f'(x) = \dfrac{3}{x}$ .

2. Cambiamos de base la segunda. $\log_{2} x = \dfrac{\ln x}{\ln 2}$ , y $\ln 2$ es una constante.

3. Derivamos. $g'(x) = \dfrac{1}{x\ln 2}$

4. Miramos el dominio. Las dos derivadas valen para $x > 0$ , que es donde el logaritmo existe.

Respuesta: $f'(x) = \dfrac{3}{x}$ y $g'(x) = \dfrac{1}{x\ln 2}$

4. Derivá $f(x) = e^{x} - 3\ln x + 4$ .

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1. Separamos en términos. La derivada de una suma o resta se calcula término a término.

2. Derivamos la exponencial. $\left(e^{x}\right)' = e^{x}$

3. Derivamos el logaritmo con su constante. $\left(3\ln x\right)' = \dfrac{3}{x}$ , y viene restando.

4. Derivamos la constante y armamos. La derivada de $4$ es $0$ , así que $f'(x) = e^{x} - \dfrac{3}{x}$ , válida para $x > 0$ .

Respuesta: $f'(x) = e^{x} - \dfrac{3}{x}$

5. Derivá $f(x) = 5e^{x} + 4x^{2}$ .

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1. Derivamos el primer término. La exponencial de base $e$ es su propia derivada, y la constante sale afuera: queda $5e^{x}$ .

2. Derivamos el segundo. Por la regla de la potencia, $8x$ .

3. Sumamos. $f'(x) = 8 x + 5 e^{x}$

4. Notamos lo llamativo. El término exponencial queda igual después de derivar: es la única función, salvo múltiplos, que cumple eso.

Respuesta: $f'(x) = 8 x + 5 e^{x}$

6. Derivá $f(x) = 6^{x}$ .

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1. Escribimos la base en términos de $e$ . $6^{x} = e^{x\ln 6}$ , usando que $e^{\ln 6} = 6$ .

2. Derivamos con la regla de la cadena. La derivada de la exponencial es ella misma, multiplicada por la derivada del exponente, que es $\ln 6$ .

3. Escribimos el resultado. $f'(x) = 6^{x}\ln 6$

4. Chequeamos el caso conocido. Si la base fuera $e$ , ese factor valdría $1$ y desaparecería: por eso $e^{x}$ es su propia derivada.

Respuesta: $f'(x) = 6^{x}\ln 6$

7. Derivá $f(x) = 6\ln x$ y $g(x) = \log_{2} x$ .

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1. Derivamos la primera. La derivada de $\ln x$ es $\dfrac{1}{x}$ , y la constante sale afuera: $f'(x) = \dfrac{6}{x}$ .

2. Cambiamos de base la segunda. $\log_{2} x = \dfrac{\ln x}{\ln 2}$ , y $\ln 2$ es una constante.

3. Derivamos. $g'(x) = \dfrac{1}{x\ln 2}$

4. Miramos el dominio. Las dos derivadas valen para $x > 0$ , que es donde el logaritmo existe.

Respuesta: $f'(x) = \dfrac{6}{x}$ y $g'(x) = \dfrac{1}{x\ln 2}$

8. Derivá $f(x) = e^{x} - 2\ln x + 5$ .

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1. Separamos en términos. La derivada de una suma o resta se calcula término a término.

2. Derivamos la exponencial. $\left(e^{x}\right)' = e^{x}$

3. Derivamos el logaritmo con su constante. $\left(2\ln x\right)' = \dfrac{2}{x}$ , y viene restando.

4. Derivamos la constante y armamos. La derivada de $5$ es $0$ , así que $f'(x) = e^{x} - \dfrac{2}{x}$ , válida para $x > 0$ .

Respuesta: $f'(x) = e^{x} - \dfrac{2}{x}$

9. Derivá $f(x) = 2e^{x} + 7x^{2}$ .

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1. Derivamos el primer término. La exponencial de base $e$ es su propia derivada, y la constante sale afuera: queda $2e^{x}$ .

2. Derivamos el segundo. Por la regla de la potencia, $14x$ .

3. Sumamos. $f'(x) = 14 x + 2 e^{x}$

4. Notamos lo llamativo. El término exponencial queda igual después de derivar: es la única función, salvo múltiplos, que cumple eso.

Respuesta: $f'(x) = 14 x + 2 e^{x}$

10. Derivá $f(x) = 5^{x}$ .

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1. Escribimos la base en términos de $e$ . $5^{x} = e^{x\ln 5}$ , usando que $e^{\ln 5} = 5$ .

2. Derivamos con la regla de la cadena. La derivada de la exponencial es ella misma, multiplicada por la derivada del exponente, que es $\ln 5$ .

3. Escribimos el resultado. $f'(x) = 5^{x}\ln 5$

4. Chequeamos el caso conocido. Si la base fuera $e$ , ese factor valdría $1$ y desaparecería: por eso $e^{x}$ es su propia derivada.

Respuesta: $f'(x) = 5^{x}\ln 5$

11. Derivá $f(x) = 7\ln x$ y $g(x) = \log_{3} x$ .

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1. Derivamos la primera. La derivada de $\ln x$ es $\dfrac{1}{x}$ , y la constante sale afuera: $f'(x) = \dfrac{7}{x}$ .

2. Cambiamos de base la segunda. $\log_{3} x = \dfrac{\ln x}{\ln 3}$ , y $\ln 3$ es una constante.

3. Derivamos. $g'(x) = \dfrac{1}{x\ln 3}$

4. Miramos el dominio. Las dos derivadas valen para $x > 0$ , que es donde el logaritmo existe.

Respuesta: $f'(x) = \dfrac{7}{x}$ y $g'(x) = \dfrac{1}{x\ln 3}$

12. Derivá $f(x) = e^{x} - 4\ln x + 2$ .

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1. Separamos en términos. La derivada de una suma o resta se calcula término a término.

2. Derivamos la exponencial. $\left(e^{x}\right)' = e^{x}$

3. Derivamos el logaritmo con su constante. $\left(4\ln x\right)' = \dfrac{4}{x}$ , y viene restando.

4. Derivamos la constante y armamos. La derivada de $2$ es $0$ , así que $f'(x) = e^{x} - \dfrac{4}{x}$ , válida para $x > 0$ .

Respuesta: $f'(x) = e^{x} - \dfrac{4}{x}$

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