Ejercicios: Derivadas trigonométricas

2. Derivamos el coseno. $(\cos x)' = -\operatorname{sen} x$: acá aparece el signo menos, que es lo único que distingue a las dos reglas.

3. Armamos el resultado. $f'(x) = 4\cos x - \operatorname{sen} x$

4. Chequeamos el signo. El menos es el error más frecuente del tema: derivar coseno nunca deja el resultado positivo.

Respuesta: $f'(x) = 4\cos x - \operatorname{sen} x$

2. Aplicamos la regla del cociente. $\dfrac{\cos x \cdot \cos x - \operatorname{sen} x \cdot (-\operatorname{sen} x)}{\cos^{2} x} = \dfrac{\cos^{2} x + \operatorname{sen}^{2} x}{\cos^{2} x}$

3. Usamos la identidad fundamental. El numerador vale $1$, así que $f'(x) = \dfrac{1}{\cos^{2} x}$.

4. Evaluamos en el ángulo pedido. $\cos \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$, y elevando al cuadrado e invirtiendo queda $f'\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 4$.

Respuesta: $f'(x) = \dfrac{1}{\cos^{2} x}$, y en $\dfrac{\pi}{3}$ vale $4$

2. Reconocemos el ciclo. Cada cuatro derivadas se vuelve al punto de partida, así que solo importa el resto de dividir el orden por cuatro.

3. Calculamos el resto. $7 = 4 \cdot 1 + 3$, así que el resto es $3$.

4. Leemos la tabla del ciclo. Con resto $3$ corresponde $-\cos x$.

Respuesta: la derivada de orden $7$ es $-\cos x$

2. Recordamos el valor notable. $\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$

3. Reemplazamos. $f'\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 5 \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2}$

4. Interpretamos. Es la pendiente de la tangente al gráfico en ese ángulo, y como es positiva la función está creciendo ahí.

Respuesta: $f'(x) = 5\cos x$ y $f'\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{5}{2}$

2. Derivamos el coseno. $(\cos x)' = -\operatorname{sen} x$: acá aparece el signo menos, que es lo único que distingue a las dos reglas.

3. Armamos el resultado. $f'(x) = 7\cos x - 5\operatorname{sen} x$

4. Chequeamos el signo. El menos es el error más frecuente del tema: derivar coseno nunca deja el resultado positivo.

Respuesta: $f'(x) = 7\cos x - 5\operatorname{sen} x$

2. Aplicamos la regla del cociente. $\dfrac{\cos x \cdot \cos x - \operatorname{sen} x \cdot (-\operatorname{sen} x)}{\cos^{2} x} = \dfrac{\cos^{2} x + \operatorname{sen}^{2} x}{\cos^{2} x}$

3. Usamos la identidad fundamental. El numerador vale $1$, así que $f'(x) = \dfrac{1}{\cos^{2} x}$.

4. Evaluamos en el ángulo pedido. $\cos \dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}$, y elevando al cuadrado e invirtiendo queda $f'\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = 4$.

Respuesta: $f'(x) = \dfrac{1}{\cos^{2} x}$, y en $\dfrac{2\pi}{3}$ vale $4$

2. Reconocemos el ciclo. Cada cuatro derivadas se vuelve al punto de partida, así que solo importa el resto de dividir el orden por cuatro.

3. Calculamos el resto. $9 = 4 \cdot 2 + 1$, así que el resto es $1$.

4. Leemos la tabla del ciclo. Con resto $1$ corresponde $\cos x$.

Respuesta: la derivada de orden $9$ es $\cos x$

2. Recordamos el valor notable. $\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$

3. Reemplazamos. $f'\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 3 \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}$

4. Interpretamos. Es la pendiente de la tangente al gráfico en ese ángulo, y como es positiva la función está creciendo ahí.

Respuesta: $f'(x) = 3\cos x$ y $f'\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{3}{2}$

2. Derivamos el coseno. $(\cos x)' = -\operatorname{sen} x$: acá aparece el signo menos, que es lo único que distingue a las dos reglas.

3. Armamos el resultado. $f'(x) = 5\cos x - 4\operatorname{sen} x$

4. Chequeamos el signo. El menos es el error más frecuente del tema: derivar coseno nunca deja el resultado positivo.

Respuesta: $f'(x) = 5\cos x - 4\operatorname{sen} x$

2. Aplicamos la regla del cociente. $\dfrac{\cos x \cdot \cos x - \operatorname{sen} x \cdot (-\operatorname{sen} x)}{\cos^{2} x} = \dfrac{\cos^{2} x + \operatorname{sen}^{2} x}{\cos^{2} x}$

3. Usamos la identidad fundamental. El numerador vale $1$, así que $f'(x) = \dfrac{1}{\cos^{2} x}$.

4. Evaluamos en el ángulo pedido. $\cos 0 = 1$, y elevando al cuadrado e invirtiendo queda $f'\left(0\right) = 1$.

Respuesta: $f'(x) = \dfrac{1}{\cos^{2} x}$, y en $0$ vale $1$

2. Reconocemos el ciclo. Cada cuatro derivadas se vuelve al punto de partida, así que solo importa el resto de dividir el orden por cuatro.

3. Calculamos el resto. $13 = 4 \cdot 3 + 1$, así que el resto es $1$.

4. Leemos la tabla del ciclo. Con resto $1$ corresponde $\cos x$.

Respuesta: la derivada de orden $13$ es $\cos x$

2. Recordamos el valor notable. $\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$

3. Reemplazamos. $f'\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 4 \cdot \dfrac{1}{2} = 2$

4. Interpretamos. Es la pendiente de la tangente al gráfico en ese ángulo, y como es positiva la función está creciendo ahí.

Respuesta: $f'(x) = 4\cos x$ y $f'\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 2$