Ejercicios: La regla del producto

2. Derivamos cada uno. $u' = 2$ y $v' = 2 x$.

3. Aplicamos la regla. $f' = u'v + uv' = 2(x^{2} + 3) + (2 x + 6)(2 x)$

4. Desarrollamos y sumamos. $f'(x) = 6 x^{2} + 12 x + 6$. Se puede chequear desarrollando el producto primero y derivando término a término: da lo mismo.

Respuesta: $f'(x) = 6 x^{2} + 12 x + 6$

2. Derivamos cada uno. $u' = 4x^{3}$ y $v' = e^{x}$.

3. Aplicamos la regla. $f' = 4x^{3}e^{x} + x^{4}e^{x}$

4. Sacamos factor común. $f'(x) = x^{3} \left(x + 4\right) e^{x}$, que es la forma más cómoda para después buscar ceros.

Respuesta: $f'(x) = x^{3} \left(x + 4\right) e^{x}$

2. Derivamos cada uno. $u' = 7$ y $v' = \cos x$.

3. Aplicamos la regla. $f' = 7\operatorname{sen} x + 7x\cos x$

4. Verificamos en un punto fácil. En $x = 0$ da $f'(0) = 0 + 0 = 0$, y efectivamente la función arranca plana ahí.

Respuesta: $f'(x) = 7\operatorname{sen} x + 7x\cos x$

2. Derivamos el producto de verdad. $uv = 14 x^{3}$, y por la regla de la potencia $(uv)' = 42 x^{2}$.

3. Comparamos. $42 x^{2}$ contra $28 x$: no son iguales, ni siquiera en un punto genérico.

4. Aplicamos la regla correcta. $u'v + uv' = 14 x \cdot 2x + 7 x^{2} \cdot 2 = 42 x^{2}$, que sí coincide.

Respuesta: $(uv)' = 42 x^{2}$, mientras que $u'v' = 28 x$: son distintos

2. Derivamos cada uno. $u' = 4$ y $v' = 2 x$.

3. Aplicamos la regla. $f' = u'v + uv' = 4(x^{2} + 1) + (4 x + 2)(2 x)$

4. Desarrollamos y sumamos. $f'(x) = 12 x^{2} + 4 x + 4$. Se puede chequear desarrollando el producto primero y derivando término a término: da lo mismo.

Respuesta: $f'(x) = 12 x^{2} + 4 x + 4$

2. Derivamos cada uno. $u' = 6x^{5}$ y $v' = e^{x}$.

3. Aplicamos la regla. $f' = 6x^{5}e^{x} + x^{6}e^{x}$

4. Sacamos factor común. $f'(x) = x^{5} \left(x + 6\right) e^{x}$, que es la forma más cómoda para después buscar ceros.

Respuesta: $f'(x) = x^{5} \left(x + 6\right) e^{x}$

2. Derivamos cada uno. $u' = 4$ y $v' = \cos x$.

3. Aplicamos la regla. $f' = 4\operatorname{sen} x + 4x\cos x$

4. Verificamos en un punto fácil. En $x = 0$ da $f'(0) = 0 + 0 = 0$, y efectivamente la función arranca plana ahí.

Respuesta: $f'(x) = 4\operatorname{sen} x + 4x\cos x$

2. Derivamos el producto de verdad. $uv = 6 x^{3}$, y por la regla de la potencia $(uv)' = 18 x^{2}$.

3. Comparamos. $18 x^{2}$ contra $12 x$: no son iguales, ni siquiera en un punto genérico.

4. Aplicamos la regla correcta. $u'v + uv' = 4 x \cdot 3x + 2 x^{2} \cdot 3 = 18 x^{2}$, que sí coincide.

Respuesta: $(uv)' = 18 x^{2}$, mientras que $u'v' = 12 x$: son distintos

2. Derivamos cada uno. $u' = 5$ y $v' = 2 x$.

3. Aplicamos la regla. $f' = u'v + uv' = 5(x^{2} + 2) + (5 x + 4)(2 x)$

4. Desarrollamos y sumamos. $f'(x) = 15 x^{2} + 8 x + 10$. Se puede chequear desarrollando el producto primero y derivando término a término: da lo mismo.

Respuesta: $f'(x) = 15 x^{2} + 8 x + 10$

2. Derivamos cada uno. $u' = 2x^{1}$ y $v' = e^{x}$.

3. Aplicamos la regla. $f' = 2x^{1}e^{x} + x^{2}e^{x}$

4. Sacamos factor común. $f'(x) = x \left(x + 2\right) e^{x}$, que es la forma más cómoda para después buscar ceros.

Respuesta: $f'(x) = x \left(x + 2\right) e^{x}$

2. Derivamos cada uno. $u' = 2$ y $v' = \cos x$.

3. Aplicamos la regla. $f' = 2\operatorname{sen} x + 2x\cos x$

4. Verificamos en un punto fácil. En $x = 0$ da $f'(0) = 0 + 0 = 0$, y efectivamente la función arranca plana ahí.

Respuesta: $f'(x) = 2\operatorname{sen} x + 2x\cos x$

2. Derivamos el producto de verdad. $uv = 24 x^{3}$, y por la regla de la potencia $(uv)' = 72 x^{2}$.

3. Comparamos. $72 x^{2}$ contra $48 x$: no son iguales, ni siquiera en un punto genérico.

4. Aplicamos la regla correcta. $u'v + uv' = 12 x \cdot 4x + 6 x^{2} \cdot 4 = 72 x^{2}$, que sí coincide.

Respuesta: $(uv)' = 72 x^{2}$, mientras que $u'v' = 48 x$: son distintos