La regla del producto

Cuando hay dos funciones multiplicándose, no se puede derivar cada una por separado y multiplicar los resultados. La regla correcta tiene dos términos.

Se deriva la primera y se la multiplica por la segunda sin derivar, y a eso se le suma la primera sin derivar multiplicada por la derivada de la segunda.

La lógica es que si las dos funciones cambian a la vez, el producto cambia por dos motivos: porque cambió una y porque cambió la otra. Cada término de la regla captura una de esas dos contribuciones.

El orden de los dos factores no importa, porque el producto es conmutativo y la suma también. Lo que sí importa es no olvidarse un término.

Antes de aplicarla conviene mirar si se puede evitar. Si el producto se puede desarrollar y queda un polinomio, derivar término por término suele ser más rápido y menos propenso a errores.

Para un producto de tres funciones la regla se extiende: quedan tres términos, en cada uno se deriva una y las otras dos quedan como están.

( f \cdot g ) ' = f' \cdot g + f \cdot g'

Cuándo se usa

Cuando hay dos funciones distintas multiplicándose y ninguna es una constante. Antes de aplicarla, fijate si se puede desarrollar el producto: si queda un polinomio, es más rápido derivar término por término.

Ejemplo 1

Derivar $f(x) = (3x + 2)(x^{2} - 1)$ .

Identificamos los dos factores. $f = 3x + 2$ y $g = x^{2} - 1$ .
Derivamos cada uno por separado. $f' = 3$ y $g' = 2x$ .
Armamos el primer término: derivada de la primera por la segunda. $3 \cdot (x^{2} - 1) = 3x^{2} - 3$
Armamos el segundo: la primera por la derivada de la segunda. $(3x + 2) \cdot 2x = 6x^{2} + 4x$
Sumamos y agrupamos. $3x^{2} - 3 + 6x^{2} + 4x = 9x^{2} + 4x - 3$
Respuesta: $f'(x) = 9x^{2} + 4x - 3$

Ejemplo 2

Derivar $f(x) = x \cdot e^{x}$ .

Identificamos los factores. $f = x$ y $g = e^{x}$ .
Derivamos cada uno. $f' = 1$ y $g' = e^{x}$ .
Armamos los dos términos. $1 \cdot e^{x}$ más $x \cdot e^{x}$ .
Sumamos y sacamos factor común. $e^{x} + x e^{x} = e^{x} (1 + x)$
Respuesta: $f'(x) = e^{x} (1 + x)$

Error típico

Contestar $f' \cdot g'$ , o sea derivar cada factor y multiplicarlos. Es el error más común del subtema y se detecta solo: probá con $x \cdot x$ , que es $x^{2}$ y tiene que dar $2x$ , no $1 \cdot 1 = 1$ .

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Otros subtemas de Derivadas

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