Tasa de variación media

La tasa de variación media mide cuánto cambió la función en promedio entre dos puntos. Se calcula dividiendo la diferencia de las alturas por la diferencia de las abscisas.

Es el mismo cálculo que la pendiente de una recta, y no es casualidad: lo que se está midiendo es la pendiente de la recta que une los dos puntos del gráfico. Esa recta se llama secante.

El resultado se lee como un promedio. Si da tres, significa que en ese tramo la función subió tres unidades por cada unidad avanzada, aunque adentro del tramo haya subido más rápido en una parte y más lento en otra.

Por eso la tasa media no dice nada sobre lo que pasa en el medio. Una función puede subir mucho y después bajar, y si termina donde empezó la tasa media da cero.

Este es el punto de partida de toda la unidad. La derivada aparece al preguntarse qué pasa con esa tasa cuando los dos puntos se acercan hasta casi tocarse.

TVM

= [ f(b) - f(a) ] / (b - a)

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio pide la variación promedio en un intervalo, o la pendiente de la secante entre dos puntos. También en problemas de velocidad media, que es exactamente esto aplicado a la posición.

Ejemplo 1

Calcular la tasa de variación media de $f(x) = x^{2} + 1$ entre $x = 1$ y $x = 4$ .

Evaluamos la función en los dos extremos. $f(1) = 1 + 1 = 2$ y $f(4) = 16 + 1 = 17$ .
Calculamos cuánto subió la función. $17 - 2 = 15$
Calculamos cuánto avanzamos en x. $4 - 1 = 3$
Dividimos subida por avance. $15 \div 3 = 5$
Respuesta: la tasa de variación media es $5$

Ejemplo 2

Un auto recorre $180$ km en $2$ horas. ¿Cuál es su velocidad media y qué tiene que ver con la tasa de variación?

La posición es una función del tiempo. Llamemos $p(t)$ a los kilómetros recorridos hasta el momento $t$ .
La velocidad media es exactamente una tasa de variación media. Es el cambio de posición dividido por el tiempo que pasó.
Reemplazamos. $(180) \div (2) = 90$
Interpretamos. Son $90$ km/h en promedio. El auto pudo ir $a 130$ en la ruta $y a 40$ en el peaje: la tasa media no lo distingue.
Respuesta: la velocidad media es $90$ km/h, que es la tasa de variación media de la posición

Error típico

Confundir la tasa de variación media con la variación a secas. Si la función pasó de $4 a 10$ , la variación es $6$ , pero la tasa media depende también de cuánto avanzó $x$ . Sin dividir por el avance no hay tasa.

Practicar

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Otros subtemas de Derivadas

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