Derivación implícita
A veces una ecuación relaciona dos variables sin que una esté despejada. La derivación implícita permite hallar la derivada sin necesidad de despejar, lo que a veces es imposible.
La idea es derivar los dos lados de la ecuación respecto de la variable independiente, tratando a la otra como si fuera una función de ella. Cada vez que se deriva un término con la variable dependiente aparece un factor extra, que es justamente la derivada buscada.
Ese factor extra es la aplicación de la regla de la cadena. Es el paso que más se olvida: al derivar algo que depende de una función, hay que multiplicar por la derivada de esa función.
Después de derivar queda una ecuación donde la incógnita es la derivada. Se agrupan los términos que la contienen, se saca factor común y se despeja.
El resultado casi siempre depende de las dos variables, no solo de una. Eso es normal: para evaluarlo hace falta un punto completo, con sus dos coordenadas.
Cuando la ecuación mezcla las dos variables y no se puede o no conviene despejar, como en una circunferencia. Cada vez que derives un término con la variable dependiente, multiplicá por su derivada.
Hallar para .
Derivamos los dos lados respecto de x. El da . El da . El da .
Escribimos la ecuación derivada.
Dejamos solo el término con .
Despejamos.
Respuesta:
Hallar la pendiente de la tangente a en el punto .
Verificamos que el punto está en la curva. . Sí pertenece.
Usamos la derivada del ejemplo anterior.
Reemplazamos las dos coordenadas.
Interpretamos. La tangente baja: por cada que avanza, desciende . Tiene sentido, porque el punto está en el cuadrante donde la circunferencia va bajando.
Respuesta: la pendiente es
Derivar y contestar , olvidándose del . Es exactamente el mismo olvido que en la regla de la cadena: es lo de adentro y también hay que derivarla.
Otros subtemas de Derivadas
- 1. Tasa de variación media
- 2. La derivada en un punto
- 3. De la secante a la tangente
- 4. Recta tangente y recta normal
- 5. Dónde una función no tiene derivada
- 6. La regla de la potencia
- 7. Suma, resta y constante por función
- 8. Exponenciales y logaritmos
- 9. Derivadas trigonométricas
- 10. La regla del producto
- 11. La regla del cociente
- 12. La regla de la cadena
- 13. Combinar reglas
- 14. Trigonométricas inversas
- 15. Derivación logarítmica
- 17. Derivadas sucesivas
- 18. Aproximación lineal
- 19. Derivada de la función inversa
- 20. El diferencial
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