Método

Ejercicios: Derivación implícita

se deriva respecto de x, con y función de x

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Hallá y′y' en la circunferencia x2+y2=36x^{2} + y^{2} = 36.

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1. Derivamos los dos lados respecto de xx. Tratamos a yy como una función de xx, así que cada término con yy arrastra un factor extra por la regla de la cadena.

2. Escribimos la derivada término a término. 2x+2yy′=02x + 2yy' = 0

3. Despejamos y′y'. 2yy′=−2x2yy' = -2x, entonces y′=−xyy' = -\dfrac{x}{y}.

4. Interpretamos. La derivada queda en función de las dos variables, y vale para y≠0y \neq 0: en los puntos (6,0)(6, 0) y (−6,0)(-6, 0) la tangente es vertical.

Respuesta: y′=−xyy' = -\dfrac{x}{y}

2. Hallá y′y' en 3xy+y2=13xy + y^{2} = 1.

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1. Derivamos los dos lados respecto de xx. El primer término es un producto de xx por yy, así que necesita la regla del producto.

2. Derivamos el producto. (3xy)′=3y+3xy′(3xy)' = 3y + 3xy'

3. Derivamos el resto. (y2)′=2yy′(y^{2})' = 2yy' y la derivada de la constante 11 es 00, así que 3y+3xy′+2yy′=03y + 3xy' + 2yy' = 0.

4. Agrupamos y despejamos. y′(3x+2y)=−3yy'(3x + 2y) = -3y, entonces y′=−3y3x+2yy' = \dfrac{-3y}{3x + 2y}.

Respuesta: y′=−3y3x+2yy' = \dfrac{-3y}{3x + 2y}

3. Hallá la recta tangente a x2+y2=25x^{2} + y^{2} = 25 en el punto (1,26)(1, 2 \sqrt{6}).

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1. Verificamos que el punto pertenezca a la curva. 12+(26)2=1+24=251^{2} + \left(2 \sqrt{6}\right)^{2} = 1 + 24 = 25. Está en la curva.

2. Derivamos implícitamente. 2x+2yy′=02x + 2yy' = 0, o sea y′=−xyy' = -\dfrac{x}{y}.

3. Evaluamos en el punto. y′=−126=−612y' = -\dfrac{1}{2 \sqrt{6}} = - \dfrac{\sqrt{6}}{12}

4. Armamos la recta. y−26=−612(x−1)y - 2 \sqrt{6} = - \dfrac{\sqrt{6}}{12}(x - 1). No hizo falta despejar yy en ningún momento.

Respuesta: y=26−612(x−1)y = 2 \sqrt{6} - \dfrac{\sqrt{6}}{12}(x - 1)

4. Hallá y′y' en 7x2+4y3=xy7x^{2} + 4y^{3} = xy.

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1. Derivamos los dos lados. A la izquierda, 14x+12y2y′14x + 12y^{2}y'.

2. Derivamos el lado derecho con la regla del producto. (xy)′=y+xy′(xy)' = y + xy'

3. Juntamos los términos con y′y' de un lado. 12y2y′−xy′=y−14x12y^{2}y' - xy' = y - 14x

4. Sacamos factor común y despejamos. y′(12y2−x)=y−14xy'\left(12y^{2} - x\right) = y - 14x, entonces y′=y−14x12y2−xy' = \dfrac{y - 14x}{12y^{2} - x}.

Respuesta: y′=y−14x12y2−xy' = \dfrac{y - 14x}{12y^{2} - x}

5. Hallá y′y' en la circunferencia x2+y2=9x^{2} + y^{2} = 9.

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1. Derivamos los dos lados respecto de xx. Tratamos a yy como una función de xx, así que cada término con yy arrastra un factor extra por la regla de la cadena.

2. Escribimos la derivada término a término. 2x+2yy′=02x + 2yy' = 0

3. Despejamos y′y'. 2yy′=−2x2yy' = -2x, entonces y′=−xyy' = -\dfrac{x}{y}.

4. Interpretamos. La derivada queda en función de las dos variables, y vale para y≠0y \neq 0: en los puntos (3,0)(3, 0) y (−3,0)(-3, 0) la tangente es vertical.

Respuesta: y′=−xyy' = -\dfrac{x}{y}

6. Hallá y′y' en 2xy+y2=52xy + y^{2} = 5.

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1. Derivamos los dos lados respecto de xx. El primer término es un producto de xx por yy, así que necesita la regla del producto.

2. Derivamos el producto. (2xy)′=2y+2xy′(2xy)' = 2y + 2xy'

3. Derivamos el resto. (y2)′=2yy′(y^{2})' = 2yy' y la derivada de la constante 55 es 00, así que 2y+2xy′+2yy′=02y + 2xy' + 2yy' = 0.

4. Agrupamos y despejamos. y′(2x+2y)=−2yy'(2x + 2y) = -2y, entonces y′=−2y2x+2yy' = \dfrac{-2y}{2x + 2y}.

Respuesta: y′=−2y2x+2yy' = \dfrac{-2y}{2x + 2y}

7. Hallá la recta tangente a x2+y2=10x^{2} + y^{2} = 10 en el punto (1,3)(1, 3).

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1. Verificamos que el punto pertenezca a la curva. 12+(3)2=1+9=101^{2} + \left(3\right)^{2} = 1 + 9 = 10. Está en la curva.

2. Derivamos implícitamente. 2x+2yy′=02x + 2yy' = 0, o sea y′=−xyy' = -\dfrac{x}{y}.

3. Evaluamos en el punto. y′=−13y' = -\dfrac{1}{3}

4. Armamos la recta. y−3=−13(x−1)y - 3 = - \dfrac{1}{3}(x - 1). No hizo falta despejar yy en ningún momento.

Respuesta: y=3−13(x−1)y = 3 - \dfrac{1}{3}(x - 1)

8. Hallá y′y' en 4x2+y3=xy4x^{2} + y^{3} = xy.

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1. Derivamos los dos lados. A la izquierda, 8x+3y2y′8x + 3y^{2}y'.

2. Derivamos el lado derecho con la regla del producto. (xy)′=y+xy′(xy)' = y + xy'

3. Juntamos los términos con y′y' de un lado. 3y2y′−xy′=y−8x3y^{2}y' - xy' = y - 8x

4. Sacamos factor común y despejamos. y′(3y2−x)=y−8xy'\left(3y^{2} - x\right) = y - 8x, entonces y′=y−8x3y2−xy' = \dfrac{y - 8x}{3y^{2} - x}.

Respuesta: y′=y−8x3y2−xy' = \dfrac{y - 8x}{3y^{2} - x}

9. Hallá y′y' en la circunferencia x2+y2=4x^{2} + y^{2} = 4.

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1. Derivamos los dos lados respecto de xx. Tratamos a yy como una función de xx, así que cada término con yy arrastra un factor extra por la regla de la cadena.

2. Escribimos la derivada término a término. 2x+2yy′=02x + 2yy' = 0

3. Despejamos y′y'. 2yy′=−2x2yy' = -2x, entonces y′=−xyy' = -\dfrac{x}{y}.

4. Interpretamos. La derivada queda en función de las dos variables, y vale para y≠0y \neq 0: en los puntos (2,0)(2, 0) y (−2,0)(-2, 0) la tangente es vertical.

Respuesta: y′=−xyy' = -\dfrac{x}{y}

10. Hallá y′y' en 7xy+y2=47xy + y^{2} = 4.

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1. Derivamos los dos lados respecto de xx. El primer término es un producto de xx por yy, así que necesita la regla del producto.

2. Derivamos el producto. (7xy)′=7y+7xy′(7xy)' = 7y + 7xy'

3. Derivamos el resto. (y2)′=2yy′(y^{2})' = 2yy' y la derivada de la constante 44 es 00, así que 7y+7xy′+2yy′=07y + 7xy' + 2yy' = 0.

4. Agrupamos y despejamos. y′(7x+2y)=−7yy'(7x + 2y) = -7y, entonces y′=−7y7x+2yy' = \dfrac{-7y}{7x + 2y}.

Respuesta: y′=−7y7x+2yy' = \dfrac{-7y}{7x + 2y}

11. Hallá la recta tangente a x2+y2=20x^{2} + y^{2} = 20 en el punto (1,19)(1, \sqrt{19}).

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1. Verificamos que el punto pertenezca a la curva. 12+(19)2=1+19=201^{2} + \left(\sqrt{19}\right)^{2} = 1 + 19 = 20. Está en la curva.

2. Derivamos implícitamente. 2x+2yy′=02x + 2yy' = 0, o sea y′=−xyy' = -\dfrac{x}{y}.

3. Evaluamos en el punto. y′=−119=−1919y' = -\dfrac{1}{\sqrt{19}} = - \dfrac{\sqrt{19}}{19}

4. Armamos la recta. y−19=−1919(x−1)y - \sqrt{19} = - \dfrac{\sqrt{19}}{19}(x - 1). No hizo falta despejar yy en ningún momento.

Respuesta: y=19−1919(x−1)y = \sqrt{19} - \dfrac{\sqrt{19}}{19}(x - 1)

12. Hallá y′y' en 6x2+2y3=xy6x^{2} + 2y^{3} = xy.

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1. Derivamos los dos lados. A la izquierda, 12x+6y2y′12x + 6y^{2}y'.

2. Derivamos el lado derecho con la regla del producto. (xy)′=y+xy′(xy)' = y + xy'

3. Juntamos los términos con y′y' de un lado. 6y2y′−xy′=y−12x6y^{2}y' - xy' = y - 12x

4. Sacamos factor común y despejamos. y′(6y2−x)=y−12xy'\left(6y^{2} - x\right) = y - 12x, entonces y′=y−12x6y2−xy' = \dfrac{y - 12x}{6y^{2} - x}.

Respuesta: y′=y−12x6y2−xy' = \dfrac{y - 12x}{6y^{2} - x}

Integradores de Derivadas: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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