Ejercicios: Derivadas sucesivas

f'

mide

a f f''

mide

a f'

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Calculá la derivada primera, segunda y tercera de $f(x) = 4 x^{4} + 2 x^{3} - 7 x$ .

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1. Derivamos una vez. $f'(x) = 16 x^{3} + 6 x^{2} - 7$

2. Derivamos el resultado. $f''(x) = 12 x \left(4 x + 1\right)$ : el término lineal desapareció, porque su derivada era constante.

3. Volvemos a derivar. $f'''(x) = 96 x + 12$

4. Miramos el patrón. Cada derivada baja un grado, así que a partir de la quinta este polinomio deriva en cero.

Respuesta: $f'(x) = 16 x^{3} + 6 x^{2} - 7$ , $f''(x) = 12 x \left(4 x + 1\right)$ y $f'''(x) = 96 x + 12$

2. Hallá la derivada de orden $4$ de $f(x) = e^{3x}$ .

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1. Derivamos una vez. Por la regla de la cadena, $f'(x) = 3e^{3x}$ .

2. Derivamos otra vez. $f''(x) = 9e^{3x}$ : cada derivada vuelve a multiplicar por $3$ .

3. Reconocemos el patrón. La derivada de orden $n$ es $3^{n}e^{3x}$ .

4. Reemplazamos el orden pedido. Con $n = 4$ queda $81e^{3x}$ .

Respuesta: $81e^{3x}$

3. Calculá la derivada de orden $11$ de $f(x) = \cos x$ .

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1. Derivamos varias veces. $\cos x \to -\operatorname{sen} x \to -\cos x \to \operatorname{sen} x \to \cos x$

2. Reconocemos el ciclo. Se repite cada cuatro derivadas.

3. Calculamos el resto. $11 = 4 \cdot 2 + 3$ , así que el resto es $3$ .

4. Leemos el resultado. Con resto $3$ corresponde $\operatorname{sen} x$ . Sin el ciclo habría que derivar $11$ veces a mano.

Respuesta: $\operatorname{sen} x$

4. La posición de un móvil es $s(t) = 3 t^{3} - 2 t^{2}$ metros. Hallá la velocidad y la aceleración a los $2$ segundos.

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1. Derivamos una vez para la velocidad. $v(t) = s'(t) = 9 t^{2} - 4 t$

2. Derivamos otra vez para la aceleración. $a(t) = s''(t) = 18 t - 4$

3. Evaluamos las dos en el instante pedido. $v(2) = 28$ metros por segundo y $a(2) = 32$ metros por segundo al cuadrado.

4. Interpretamos. La velocidad dice qué tan rápido se mueve y la aceleración si esa velocidad está aumentando.

Respuesta: $v(2) = 28$ y $a(2) = 32$

5. Calculá la derivada primera, segunda y tercera de $f(x) = 2 x^{4} + 3 x^{3} - 5 x$ .

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1. Derivamos una vez. $f'(x) = 8 x^{3} + 9 x^{2} - 5$

2. Derivamos el resultado. $f''(x) = 6 x \left(4 x + 3\right)$ : el término lineal desapareció, porque su derivada era constante.

3. Volvemos a derivar. $f'''(x) = 48 x + 18$

4. Miramos el patrón. Cada derivada baja un grado, así que a partir de la quinta este polinomio deriva en cero.

Respuesta: $f'(x) = 8 x^{3} + 9 x^{2} - 5$ , $f''(x) = 6 x \left(4 x + 3\right)$ y $f'''(x) = 48 x + 18$

6. Hallá la derivada de orden $5$ de $f(x) = e^{2x}$ .

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1. Derivamos una vez. Por la regla de la cadena, $f'(x) = 2e^{2x}$ .

2. Derivamos otra vez. $f''(x) = 4e^{2x}$ : cada derivada vuelve a multiplicar por $2$ .

3. Reconocemos el patrón. La derivada de orden $n$ es $2^{n}e^{2x}$ .

4. Reemplazamos el orden pedido. Con $n = 5$ queda $32e^{2x}$ .

Respuesta: $32e^{2x}$

7. Calculá la derivada de orden $14$ de $f(x) = \cos x$ .

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1. Derivamos varias veces. $\cos x \to -\operatorname{sen} x \to -\cos x \to \operatorname{sen} x \to \cos x$

2. Reconocemos el ciclo. Se repite cada cuatro derivadas.

3. Calculamos el resto. $14 = 4 \cdot 3 + 2$ , así que el resto es $2$ .

4. Leemos el resultado. Con resto $2$ corresponde $-\cos x$ . Sin el ciclo habría que derivar $14$ veces a mano.

Respuesta: $-\cos x$

8. La posición de un móvil es $s(t) = 4 t^{3} - 3 t^{2}$ metros. Hallá la velocidad y la aceleración a los $2$ segundos.

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1. Derivamos una vez para la velocidad. $v(t) = s'(t) = 12 t^{2} - 6 t$

2. Derivamos otra vez para la aceleración. $a(t) = s''(t) = 24 t - 6$

3. Evaluamos las dos en el instante pedido. $v(2) = 36$ metros por segundo y $a(2) = 42$ metros por segundo al cuadrado.

4. Interpretamos. La velocidad dice qué tan rápido se mueve y la aceleración si esa velocidad está aumentando.

Respuesta: $v(2) = 36$ y $a(2) = 42$

9. Calculá la derivada primera, segunda y tercera de $f(x) = x^{4} + 5 x^{3} - 2 x$ .

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1. Derivamos una vez. $f'(x) = 4 x^{3} + 15 x^{2} - 2$

2. Derivamos el resultado. $f''(x) = 6 x \left(2 x + 5\right)$ : el término lineal desapareció, porque su derivada era constante.

3. Volvemos a derivar. $f'''(x) = 24 x + 30$

4. Miramos el patrón. Cada derivada baja un grado, así que a partir de la quinta este polinomio deriva en cero.

Respuesta: $f'(x) = 4 x^{3} + 15 x^{2} - 2$ , $f''(x) = 6 x \left(2 x + 5\right)$ y $f'''(x) = 24 x + 30$

10. Hallá la derivada de orden $4$ de $f(x) = e^{7x}$ .

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1. Derivamos una vez. Por la regla de la cadena, $f'(x) = 7e^{7x}$ .

2. Derivamos otra vez. $f''(x) = 49e^{7x}$ : cada derivada vuelve a multiplicar por $7$ .

3. Reconocemos el patrón. La derivada de orden $n$ es $7^{n}e^{7x}$ .

4. Reemplazamos el orden pedido. Con $n = 4$ queda $2401e^{7x}$ .

Respuesta: $2401e^{7x}$

11. Calculá la derivada de orden $8$ de $f(x) = \cos x$ .

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1. Derivamos varias veces. $\cos x \to -\operatorname{sen} x \to -\cos x \to \operatorname{sen} x \to \cos x$

2. Reconocemos el ciclo. Se repite cada cuatro derivadas.

3. Calculamos el resto. $8 = 4 \cdot 2 + 0$ , así que el resto es $0$ .

4. Leemos el resultado. Con resto $0$ corresponde $\cos x$ . Sin el ciclo habría que derivar $8$ veces a mano.

Respuesta: $\cos x$

12. La posición de un móvil es $s(t) = t^{3} - 5 t^{2}$ metros. Hallá la velocidad y la aceleración a los $4$ segundos.

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1. Derivamos una vez para la velocidad. $v(t) = s'(t) = 3 t^{2} - 10 t$

2. Derivamos otra vez para la aceleración. $a(t) = s''(t) = 6 t - 10$

3. Evaluamos las dos en el instante pedido. $v(4) = 8$ metros por segundo y $a(4) = 14$ metros por segundo al cuadrado.

4. Interpretamos. La velocidad dice qué tan rápido se mueve y la aceleración si esa velocidad está aumentando.

Respuesta: $v(4) = 8$ y $a(4) = 14$

Integradores de Derivadas: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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