Método

Derivadas sucesivas

La derivada de una función es a su vez una función, así que se puede volver a derivar. El resultado es la derivada segunda, y el proceso se puede repetir todas las veces que haga falta.

Cada una tiene una lectura. La primera dice si la función crece o decrece. La segunda dice si esa velocidad de cambio está aumentando o disminuyendo, y eso se traduce en la concavidad del gráfico.

En física la interpretación es directa: si la función es la posición, la derivada primera es la velocidad y la segunda es la aceleración.

Al derivar un polinomio el grado baja de a uno cada vez, así que después de suficientes derivadas se llega a cero. La cantidad de derivadas que hacen falta es el grado más uno.

Otras funciones se comportan distinto. La exponencial de base e se repite indefinidamente, y el seno y el coseno entran en un ciclo de cuatro. Reconocer esos patrones evita tener que derivar muchas veces cuando el ejercicio pide un orden alto.

f′f' mide aff′′a f f'' mide af′a f'
Cuándo se usa

Cuando el ejercicio pide la derivada segunda o alguna de orden alto. Si es de orden alto, buscá el patrón: las trigonométricas se repiten cada cuatro y la exponencial de base e no cambia nunca.

Ejemplo 1

Calcular las tres primeras derivadas de f(x)=2x3−5x2+xf(x) = 2x^{3} - 5x^{2} + x.

Derivamos la función original. f′(x)=6x2−10x+1f'(x) = 6x^{2} - 10x + 1
Derivamos el resultado anterior. f′′(x)=12x−10f''(x) = 12x - 10
Derivamos otra vez. f′′′(x)=12f'''(x) = 12
Observamos el patrón. El grado baja de a uno en cada paso. Como el polinomio era de grado tres, la tercera derivada ya es constante.
Respuesta: f′=6x2−10x+1f' = 6x^{2} - 10x + 1, f′′=12x−10f'' = 12x - 10, f′′′=12f''' = 12

Ejemplo 2

Un objeto se mueve según p(t)=t3−6t2p(t) = t^{3} - 6t^{2}, con la posición en metros y el tiempo en segundos. Hallar su velocidad y su aceleración en t=2t = 2.

La velocidad es la derivada de la posición. v(t)=p′(t)=3t2−12tv(t) = p'(t) = 3t^{2} - 12t
La aceleración es la derivada de la velocidad. a(t)=v′(t)=p′′(t)=6t−12a(t) = v'(t) = p''(t) = 6t - 12
Evaluamos la velocidad en t=2t = 2. v(2)=12−24=−12v(2) = 12 - 24 = -12 metros por segundo.
Evaluamos la aceleración. a(2)=12−12=0a(2) = 12 - 12 = 0 metros por segundo al cuadrado.
Interpretamos. Se mueve hacia atrás a 12m/s12 m/s y en ese instante no está acelerando ni frenando.
Respuesta: v(2)=−12m/sv(2) = -12 m/s y a(2)=0m/s2a(2) = 0 m/s^{2}

Error típico

Derivar la función original de nuevo en vez de derivar la derivada. Para calcular f′′f'' hay que partir de f′f', no de ff.

Practicar

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Otros subtemas de Derivadas

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