La derivada en un punto

La derivada en un punto es la tasa de variación media cuando el intervalo se hace cada vez más chico. En vez de medir el cambio promedio entre dos puntos, mide el cambio instantáneo en uno solo.

Se define como un límite: el del cociente incremental cuando el incremento tiende a cero. Ese cociente es la tasa media, y el límite es lo que queda cuando los dos puntos se juntan.

El resultado es un número que dice cuán rápido cambia la función justo ahí. Si es positivo la función está subiendo en ese punto, si es negativo está bajando, y si es cero está momentáneamente plana.

La definición siempre da una indeterminación de cero sobre cero, porque el numerador y el denominador tienden a cero a la vez. Resolverla es todo el trabajo, y por eso en la práctica se usan las reglas de derivación en vez de la definición.

Igual conviene saber calcularla por definición, porque los parciales suelen pedirlo al menos una vez y porque es lo que explica de dónde salen las reglas.

f'(a) = \lim_{h \to 0} [ f(a+h) - f(a) ] / h

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio dice explícitamente por definición o cuando la función no encaja en ninguna regla conocida, como pasa con las definidas por tramos en el punto de cambio. En cualquier otro caso se usan las reglas.

Ejemplo 1

Calcular $f'(3)$ para $f(x) = x^{2}$ usando la definición.

Escribimos el cociente incremental en $a = 3$ . $[ (3 + h)^{2} - 9 ] / h$
Desarrollamos el cuadrado. $(3 + h)^{2} = 9 + 6h + h^{2}$ , así que arriba queda $9 + 6h + h^{2} - 9 = 6h + h^{2}$ .
Sacamos h como factor común arriba. $(6h + h^{2}) / h = h(6 + h) / h$
Cancelamos la h. Ahora sí se puede reemplazar. $6 + h$ , y con $h = 0$ queda $6$ .
Respuesta: $f'(3) = 6$

Ejemplo 2

Calcular la derivada de $f(x) = 5x - 2$ en cualquier punto $a$ .

Escribimos el cociente incremental. $[ 5(a + h) - 2 - (5a - 2) ] / h$
Desarrollamos el numerador. $5a + 5h - 2 - 5a + 2 = 5h$ . Se cancela todo menos $5h$ .
Dividimos por h. $5h / h = 5$
Reemplazamos h por cero. No hay ninguna $h$ que reemplazar: el resultado ya es $5$ , sin importar cuánto valga $a$ .
Respuesta: $f'(a) = 5$ en todo punto, que es la pendiente de la recta

Error típico

Reemplazar $h$ por cero antes de simplificar. Eso da $0/0$ , que no es cero ni uno ni infinito: no es nada. Primero se desarrolla el numerador, se cancela la $h$ de abajo, y recién ahí se reemplaza.

Practicar

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Otros subtemas de Derivadas

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