Dónde una función no tiene derivada

No toda función continua es derivable. La continuidad es necesaria pero no alcanza, y hay tres situaciones donde la derivada no existe aunque el gráfico se dibuje sin levantar el lápiz.

La primera es el pico. En un punto anguloso las derivadas laterales existen pero dan distinto, así que no hay una única pendiente. El caso típico es el valor absoluto en el cero.

La segunda es la tangente vertical. La curva es suave pero se para completamente derecha, y una recta vertical no tiene pendiente definida.

La tercera es cualquier punto donde la función no sea continua. Si hay un salto o un agujero, no puede haber derivada: la derivabilidad implica continuidad, aunque la vuelta no valga.

Para verificar si una función por tramos es derivable en el punto de cambio hay dos pasos. Primero se comprueba que sea continua ahí, porque si no lo es ya está resuelto. Después se calculan las derivadas laterales y se comparan.

si es derivable en a, entonces es continua en a

Cuándo se usa

Cuando hay un valor absoluto, una función por tramos o una raíz que se para vertical. Verificá primero continuidad y después compará las derivadas laterales: si dan distinto, no es derivable.

Ejemplo 1

Mostrar que $f(x) = |x|$ no es derivable en $0$ .

Escribimos el cociente incremental en cero. $[ |0 + h| - |0| ] / h = |h| / h$
Analizamos qué pasa si h es positivo. Si $h > 0$ entonces $|h| = h$ , y el cociente vale $h/h = 1$ .
Analizamos qué pasa si h es negativo. Si $h < 0$ entonces $|h| = -h$ , y el cociente vale $-h/h = -1$ .
Comparamos los dos lados. Por derecha tiende a $1$ y por izquierda a $-1$ . No coinciden, así que el límite no existe.
Respuesta: no es derivable en $0$ , aunque sí es continua ahí

Ejemplo 2

Decidir si $f(x) = \sqrt[3]{x}$ es derivable en $0$ .

La función es continua en cero. $f(0) = 0$ y no hay salto: la raíz cúbica existe para todo número, incluso negativos.
Escribimos el cociente incremental. $[ \sqrt[3]{h} ] / h = \sqrt[3]{h} / h$
Reescribimos usando exponentes. $h^(1/3) / h = h^(1/3 - 1) = h^(-2/3)$ , que es $1 / h^(2/3)$ .
Vemos qué pasa cuando h tiende a cero. El denominador se hace cada vez más chico y el cociente crece sin límite. La tangente es vertical.
Respuesta: no es derivable en $0$ : tiene tangente vertical

Error típico

Dar por hecho que si una función se puede dibujar sin levantar el lápiz entonces es derivable. La continuidad es necesaria pero no alcanza: $|x|$ se dibuja de un trazo y no tiene derivada en el cero.

Practicar

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Otros subtemas de Derivadas

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .