Derivación logarítmica

Cuando la variable aparece a la vez en la base y en el exponente, ninguna regla común alcanza. No es una potencia, porque el exponente cambia, ni una exponencial, porque la base también cambia.

La técnica es aplicar logaritmo a los dos lados antes de derivar. Con la propiedad que baja el exponente multiplicando, la expresión se convierte en un producto, que sí se sabe derivar.

Después se deriva de los dos lados. A la izquierda aparece la derivada de un logaritmo compuesto, que deja la derivada buscada dividida por la función original. A la derecha queda la derivada del producto.

El último paso es despejar, multiplicando por la función original. Ese paso se olvida seguido, y es lo que hace que la respuesta quede expresada en términos de la función de partida.

La misma técnica también sirve como atajo para derivar productos o cocientes muy largos: el logaritmo los convierte en sumas y restas, que son más fáciles de derivar que el original.

se aplica ln a los dos lados, se deriva, y se despeja

Cuándo se usa

Cuando la variable está en la base y en el exponente a la vez. También como atajo cuando hay un producto o cociente de muchos factores. No te olvides de multiplicar por la función original al final.

Ejemplo 1

Derivar $y = x^(2x)$ .

Aplicamos logaritmo natural a los dos lados. $\ln y = \ln(x^(2x)) = 2x \cdot \ln x$
Derivamos los dos lados. Izquierda: $y' / y$ . Derecha, con la regla del producto: $2 \cdot \ln x + 2x \cdot (1/x)$ .
Simplificamos la derecha. $2 \ln x + 2$
Despejamos $y'$ . $y' = y (2 \ln x + 2)$
Reemplazamos y por la función original. $y' = x^(2x) (2 \ln x + 2)$
Respuesta: $y' = 2 x^(2x) (\ln x + 1)$

Ejemplo 2

Derivar $y = (\operatorname{sen} x)^{x}$ .

Aplicamos logaritmo a los dos lados. $\ln y = x \cdot \ln(\operatorname{sen} x)$
Derivamos la derecha con la regla del producto. El primer término da $1 \cdot \ln(\operatorname{sen} x)$ . El segundo necesita la cadena: la derivada de $\ln(\operatorname{sen} x)$ es $\cos x / \operatorname{sen} x$ .
Armamos la igualdad. $y' / y = \ln(\operatorname{sen} x) + x \cos x / \operatorname{sen} x$
Despejamos y reemplazamos. $y' = (\operatorname{sen} x)^{x} [ \ln(\operatorname{sen} x) + x \cos x / \operatorname{sen} x ]$
Respuesta: $y' = (\operatorname{sen} x)^{x} [ \ln(\operatorname{sen} x) + x \operatorname{cotg} x ]$

Error típico

Tratar $x^{x}$ como si fuera una potencia y contestar $x \cdot x^(x-1)$ . La regla de la potencia exige que el exponente sea constante, y acá no lo es.

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Otros subtemas de Derivadas

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