Método

Ejercicios: Derivación logarítmica

se aplica ln a los dos lados, se deriva, y se despeja

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Hallá la derivada de y=xxy = x^{x} y evaluá en x=3x = 3.

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1. Vemos por qué no sirven las reglas comunes. No es una potencia, porque el exponente cambia, ni una exponencial, porque la base también cambia.

2. Aplicamos logaritmo a los dos lados. ln⁡y=ln⁡(xx)=xln⁡x\ln y = \ln\left(x^{x}\right) = x\ln x, que ya es un producto conocido.

3. Derivamos los dos lados. A la izquierda, por la cadena, queda y′y\dfrac{y'}{y}. A la derecha, ln⁡x+x⋅1x=ln⁡x+1\ln x + x \cdot \dfrac{1}{x} = \ln x + 1.

4. Despejamos y evaluamos. y′=y(ln⁡x+1)=xx(ln⁡x+1)y' = y(\ln x + 1) = x^{x}(\ln x + 1), y en x=3x = 3 vale 27(ln⁡3+1)27(\ln 3 + 1).

Respuesta: y′=xx(ln⁡x+1)y' = x^{x}(\ln x + 1)

2. Hallá la derivada de y=x3xy = x^{3x}.

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1. Aplicamos logaritmo a los dos lados. ln⁡y=3xln⁡x\ln y = 3x\ln x

2. Derivamos el lado izquierdo. (ln⁡y)′=y′y(\ln y)' = \dfrac{y'}{y}, por la regla de la cadena, porque yy depende de xx.

3. Derivamos el derecho con la regla del producto. (3xln⁡x)′=3ln⁡x+3x⋅1x=3ln⁡x+3\left(3x\ln x\right)' = 3\ln x + 3x \cdot \dfrac{1}{x} = 3\ln x + 3

4. Despejamos. y′=y(3ln⁡x+3)=x3x⋅3(ln⁡x+1)y' = y(3\ln x + 3) = x^{3x} \cdot 3(\ln x + 1)

Respuesta: y′=3x3x(ln⁡x+1)y' = 3x^{3x}(\ln x + 1)

3. Hallá la derivada de y=(sen⁡x)7xy = (\operatorname{sen} x)^{7x}, para sen⁡x>0\operatorname{sen} x > 0.

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1. Aplicamos logaritmo a los dos lados. ln⁡y=7xln⁡(sen⁡x)\ln y = 7x\ln(\operatorname{sen} x)

2. Derivamos la izquierda. y′y\dfrac{y'}{y}

3. Derivamos la derecha con producto y cadena. 7ln⁡(sen⁡x)+7x⋅cos⁡xsen⁡x7\ln(\operatorname{sen} x) + 7x \cdot \dfrac{\cos x}{\operatorname{sen} x}

4. Despejamos. y′=(sen⁡x)7x(7ln⁡(sen⁡x)+7xcos⁡xsen⁡x)y' = (\operatorname{sen} x)^{7x}\left(7\ln(\operatorname{sen} x) + 7x\dfrac{\cos x}{\operatorname{sen} x}\right). La condición sen⁡x>0\operatorname{sen} x > 0 hace falta para poder tomar el logaritmo.

Respuesta: y′=(sen⁡x)7x(7ln⁡(sen⁡x)+7xcos⁡xsen⁡x)y' = (\operatorname{sen} x)^{7x}\left(7\ln(\operatorname{sen} x) + 7x\dfrac{\cos x}{\operatorname{sen} x}\right)

4. Usá derivación logarítmica para derivar y=(x+6)3(x+4)xy = \dfrac{(x + 6)^{3}(x + 4)}{x}, para x>0x > 0.

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1. Aplicamos logaritmo y usamos las propiedades. ln⁡y=3ln⁡(x+6)+ln⁡(x+4)−ln⁡x\ln y = 3\ln(x + 6) + \ln(x + 4) - \ln x: el producto se volvió suma y el cociente resta.

2. Derivamos los dos lados. y′y=3x+6+1x+4−1x\dfrac{y'}{y} = \dfrac{3}{x + 6} + \dfrac{1}{x + 4} - \dfrac{1}{x}

3. Despejamos. y′=y(3x+6+1x+4−1x)y' = y\left(\dfrac{3}{x + 6} + \dfrac{1}{x + 4} - \dfrac{1}{x}\right)

4. Escribimos el resultado. y′=(x+6)3(x+4)x(3x+6+1x+4−1x)y' = \dfrac{(x + 6)^{3}(x + 4)}{x}\left(\dfrac{3}{x + 6} + \dfrac{1}{x + 4} - \dfrac{1}{x}\right), mucho más corto que aplicar producto y cociente combinados.

Respuesta: y′=(x+6)3(x+4)x(3x+6+1x+4−1x)y' = \dfrac{(x + 6)^{3}(x + 4)}{x}\left(\dfrac{3}{x + 6} + \dfrac{1}{x + 4} - \dfrac{1}{x}\right)

5. Hallá la derivada de y=xxy = x^{x} y evaluá en x=6x = 6.

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1. Vemos por qué no sirven las reglas comunes. No es una potencia, porque el exponente cambia, ni una exponencial, porque la base también cambia.

2. Aplicamos logaritmo a los dos lados. ln⁡y=ln⁡(xx)=xln⁡x\ln y = \ln\left(x^{x}\right) = x\ln x, que ya es un producto conocido.

3. Derivamos los dos lados. A la izquierda, por la cadena, queda y′y\dfrac{y'}{y}. A la derecha, ln⁡x+x⋅1x=ln⁡x+1\ln x + x \cdot \dfrac{1}{x} = \ln x + 1.

4. Despejamos y evaluamos. y′=y(ln⁡x+1)=xx(ln⁡x+1)y' = y(\ln x + 1) = x^{x}(\ln x + 1), y en x=6x = 6 vale 46656(ln⁡6+1)46656(\ln 6 + 1).

Respuesta: y′=xx(ln⁡x+1)y' = x^{x}(\ln x + 1)

6. Hallá la derivada de y=x4xy = x^{4x}.

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1. Aplicamos logaritmo a los dos lados. ln⁡y=4xln⁡x\ln y = 4x\ln x

2. Derivamos el lado izquierdo. (ln⁡y)′=y′y(\ln y)' = \dfrac{y'}{y}, por la regla de la cadena, porque yy depende de xx.

3. Derivamos el derecho con la regla del producto. (4xln⁡x)′=4ln⁡x+4x⋅1x=4ln⁡x+4\left(4x\ln x\right)' = 4\ln x + 4x \cdot \dfrac{1}{x} = 4\ln x + 4

4. Despejamos. y′=y(4ln⁡x+4)=x4x⋅4(ln⁡x+1)y' = y(4\ln x + 4) = x^{4x} \cdot 4(\ln x + 1)

Respuesta: y′=4x4x(ln⁡x+1)y' = 4x^{4x}(\ln x + 1)

7. Hallá la derivada de y=(sen⁡x)5xy = (\operatorname{sen} x)^{5x}, para sen⁡x>0\operatorname{sen} x > 0.

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1. Aplicamos logaritmo a los dos lados. ln⁡y=5xln⁡(sen⁡x)\ln y = 5x\ln(\operatorname{sen} x)

2. Derivamos la izquierda. y′y\dfrac{y'}{y}

3. Derivamos la derecha con producto y cadena. 5ln⁡(sen⁡x)+5x⋅cos⁡xsen⁡x5\ln(\operatorname{sen} x) + 5x \cdot \dfrac{\cos x}{\operatorname{sen} x}

4. Despejamos. y′=(sen⁡x)5x(5ln⁡(sen⁡x)+5xcos⁡xsen⁡x)y' = (\operatorname{sen} x)^{5x}\left(5\ln(\operatorname{sen} x) + 5x\dfrac{\cos x}{\operatorname{sen} x}\right). La condición sen⁡x>0\operatorname{sen} x > 0 hace falta para poder tomar el logaritmo.

Respuesta: y′=(sen⁡x)5x(5ln⁡(sen⁡x)+5xcos⁡xsen⁡x)y' = (\operatorname{sen} x)^{5x}\left(5\ln(\operatorname{sen} x) + 5x\dfrac{\cos x}{\operatorname{sen} x}\right)

8. Usá derivación logarítmica para derivar y=(x+5)3(x+2)xy = \dfrac{(x + 5)^{3}(x + 2)}{x}, para x>0x > 0.

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1. Aplicamos logaritmo y usamos las propiedades. ln⁡y=3ln⁡(x+5)+ln⁡(x+2)−ln⁡x\ln y = 3\ln(x + 5) + \ln(x + 2) - \ln x: el producto se volvió suma y el cociente resta.

2. Derivamos los dos lados. y′y=3x+5+1x+2−1x\dfrac{y'}{y} = \dfrac{3}{x + 5} + \dfrac{1}{x + 2} - \dfrac{1}{x}

3. Despejamos. y′=y(3x+5+1x+2−1x)y' = y\left(\dfrac{3}{x + 5} + \dfrac{1}{x + 2} - \dfrac{1}{x}\right)

4. Escribimos el resultado. y′=(x+5)3(x+2)x(3x+5+1x+2−1x)y' = \dfrac{(x + 5)^{3}(x + 2)}{x}\left(\dfrac{3}{x + 5} + \dfrac{1}{x + 2} - \dfrac{1}{x}\right), mucho más corto que aplicar producto y cociente combinados.

Respuesta: y′=(x+5)3(x+2)x(3x+5+1x+2−1x)y' = \dfrac{(x + 5)^{3}(x + 2)}{x}\left(\dfrac{3}{x + 5} + \dfrac{1}{x + 2} - \dfrac{1}{x}\right)

9. Hallá la derivada de y=xxy = x^{x} y evaluá en x=1x = 1.

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1. Vemos por qué no sirven las reglas comunes. No es una potencia, porque el exponente cambia, ni una exponencial, porque la base también cambia.

2. Aplicamos logaritmo a los dos lados. ln⁡y=ln⁡(xx)=xln⁡x\ln y = \ln\left(x^{x}\right) = x\ln x, que ya es un producto conocido.

3. Derivamos los dos lados. A la izquierda, por la cadena, queda y′y\dfrac{y'}{y}. A la derecha, ln⁡x+x⋅1x=ln⁡x+1\ln x + x \cdot \dfrac{1}{x} = \ln x + 1.

4. Despejamos y evaluamos. y′=y(ln⁡x+1)=xx(ln⁡x+1)y' = y(\ln x + 1) = x^{x}(\ln x + 1), y en x=1x = 1 vale 1(ln⁡1+1)1(\ln 1 + 1).

Respuesta: y′=xx(ln⁡x+1)y' = x^{x}(\ln x + 1)

10. Hallá la derivada de y=x2xy = x^{2x}.

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1. Aplicamos logaritmo a los dos lados. ln⁡y=2xln⁡x\ln y = 2x\ln x

2. Derivamos el lado izquierdo. (ln⁡y)′=y′y(\ln y)' = \dfrac{y'}{y}, por la regla de la cadena, porque yy depende de xx.

3. Derivamos el derecho con la regla del producto. (2xln⁡x)′=2ln⁡x+2x⋅1x=2ln⁡x+2\left(2x\ln x\right)' = 2\ln x + 2x \cdot \dfrac{1}{x} = 2\ln x + 2

4. Despejamos. y′=y(2ln⁡x+2)=x2x⋅2(ln⁡x+1)y' = y(2\ln x + 2) = x^{2x} \cdot 2(\ln x + 1)

Respuesta: y′=2x2x(ln⁡x+1)y' = 2x^{2x}(\ln x + 1)

11. Hallá la derivada de y=(sen⁡x)4xy = (\operatorname{sen} x)^{4x}, para sen⁡x>0\operatorname{sen} x > 0.

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1. Aplicamos logaritmo a los dos lados. ln⁡y=4xln⁡(sen⁡x)\ln y = 4x\ln(\operatorname{sen} x)

2. Derivamos la izquierda. y′y\dfrac{y'}{y}

3. Derivamos la derecha con producto y cadena. 4ln⁡(sen⁡x)+4x⋅cos⁡xsen⁡x4\ln(\operatorname{sen} x) + 4x \cdot \dfrac{\cos x}{\operatorname{sen} x}

4. Despejamos. y′=(sen⁡x)4x(4ln⁡(sen⁡x)+4xcos⁡xsen⁡x)y' = (\operatorname{sen} x)^{4x}\left(4\ln(\operatorname{sen} x) + 4x\dfrac{\cos x}{\operatorname{sen} x}\right). La condición sen⁡x>0\operatorname{sen} x > 0 hace falta para poder tomar el logaritmo.

Respuesta: y′=(sen⁡x)4x(4ln⁡(sen⁡x)+4xcos⁡xsen⁡x)y' = (\operatorname{sen} x)^{4x}\left(4\ln(\operatorname{sen} x) + 4x\dfrac{\cos x}{\operatorname{sen} x}\right)

12. Usá derivación logarítmica para derivar y=(x+3)3(x+1)xy = \dfrac{(x + 3)^{3}(x + 1)}{x}, para x>0x > 0.

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1. Aplicamos logaritmo y usamos las propiedades. ln⁡y=3ln⁡(x+3)+ln⁡(x+1)−ln⁡x\ln y = 3\ln(x + 3) + \ln(x + 1) - \ln x: el producto se volvió suma y el cociente resta.

2. Derivamos los dos lados. y′y=3x+3+1x+1−1x\dfrac{y'}{y} = \dfrac{3}{x + 3} + \dfrac{1}{x + 1} - \dfrac{1}{x}

3. Despejamos. y′=y(3x+3+1x+1−1x)y' = y\left(\dfrac{3}{x + 3} + \dfrac{1}{x + 1} - \dfrac{1}{x}\right)

4. Escribimos el resultado. y′=(x+3)3(x+1)x(3x+3+1x+1−1x)y' = \dfrac{(x + 3)^{3}(x + 1)}{x}\left(\dfrac{3}{x + 3} + \dfrac{1}{x + 1} - \dfrac{1}{x}\right), mucho más corto que aplicar producto y cociente combinados.

Respuesta: y′=(x+3)3(x+1)x(3x+3+1x+1−1x)y' = \dfrac{(x + 3)^{3}(x + 1)}{x}\left(\dfrac{3}{x + 3} + \dfrac{1}{x + 1} - \dfrac{1}{x}\right)

Integradores de Derivadas: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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