Integradores de Derivadas

1. Evaluamos en los dos extremos. $f(0) = 2$ y $f(3) = 2$.

2. Aplicamos la fórmula. La tasa media es $\dfrac{f(3) - f(0)}{3 - 0} = \dfrac{2 - 2}{3} = 0$.

3. Interpretamos. Da cero, y eso no significa que la función esté quieta: significa que arranca y termina en la misma altura. En el medio sube y baja.

Respuesta: tasa de variación media $= 0$

b)

1. Derivamos. $f'(x) = 3 x^{2} - 6 x$.

2. Evaluamos. $f'(1) = 3 \cdot 1^{2} - 6 \cdot 1 = -3$.

3. Comparamos con a). La tasa media daba $0$ y acá da $-3$. Son cosas distintas: una es la pendiente promedio en todo el intervalo y la otra la pendiente exacta en un punto.

Respuesta: $f'(1) = -3$

c)

1. Planteamos la condición. La secante de a) tiene pendiente $0$, así que buscamos $c$ con $f'(c) = 0$.

2. Resolvemos. $3 x^{2} - 6 x = 0$ da $3x(x - 2) = 0$, o sea $x = 0$ y $x = 2$.

3. Elegimos el que está adentro. El intervalo abierto es $(0, 3)$, así que $x = 0$ queda afuera y queda $c = 2$.

4. Verificamos. $f'(2) = 3 \cdot 2^{2} - 6 \cdot 2 = 0$, que es la pendiente de la secante.

Respuesta: $c = 2$

d)

1. Tomamos la pendiente de b). $m = f'(1) = -3$.

2. Calculamos el punto. $f(1) = 1^{3} - 3 \cdot 1^{2} + 2 = 0$.

3. Armamos la recta. $y - 0 = -3(x - 1)$, o sea $y = 3 - 3 x$.

4. Chequeamos que pasa por el punto. En $x = 1$ la recta da $0$, que es $f(1)$.

Respuesta: $y = 3 - 3 x$

1. Recordamos la regla. La derivada de $x^{k}$ es $k x^{k-1}$: baja el exponente como factor y se le resta uno.

2. Primer término. La derivada de $x^{4}$ es $4x^{3}$.

3. Segundo término. La derivada de $x^{2}$ es $2x$.

Respuesta: las derivadas de los términos son $4x^{3}$ y $2x$

b)

1. Separamos. $f$ es una resta, así que $f'$ es la resta de las dos derivadas de a).

2. Sacamos el factor. El segundo término lleva un $2$ multiplicando, y una constante sale afuera de la derivada: la derivada de $2x^{2}$ es $2 \cdot 2x = 4x$.

3. Escribimos el resultado. $f'(x) = 4 x^{3} - 4 x$.

Respuesta: $f'(x) = 4 x^{3} - 4 x$

c)

1. Derivamos otra vez. Partimos de la $f'$ de b) y volvemos a derivar: $f''(x) = 4 \left(3 x^{2} - 1\right)$.

2. Y una más. $f'''(x) = 24 x$.

3. Miramos el patrón. Cada derivada baja un grado. Como $f$ es de grado cuatro, la quinta derivada ya va a ser cero.

Respuesta: $f''(x) = 4 \left(3 x^{2} - 1\right)$ y $f'''(x) = 24 x$

d)

1. Evaluamos la función. $f(2) = 2^{4} - 2 \cdot 2^{2} = 8$.

2. Evaluamos la derivada de b). $f'(2) = 4 \cdot 2^{3} - 4 \cdot 2 = 24$.

3. Armamos la aproximación. $L(x) = f(2) + f'(2)(x - 2) = 8 + 24(x - 2)$, o sea $L(x) = 24 x - 40$.

4. Qué es. Es la recta tangente, usada como reemplazo de la función cerca del punto. Sirve cerca y se degrada rápido lejos.

Respuesta: $L(x) = 24 x - 40$

1. Damos la derivada. La derivada de $e^{x}$ es $e^{x}$.

2. Explicamos. Es la única función, salvo múltiplos, que es igual a su propia derivada. Por eso aparece en todo lo que crece proporcionalmente a lo que ya hay.

3. Aclaramos la confusión típica. No es la regla de la potencia: $e^{x}$ tiene la variable en el exponente, no en la base.

Respuesta: la derivada de $e^{x}$ es $e^{x}$

b)

1. Identificamos los factores. $u = x^{2}$ y $v = e^{x}$.

2. Derivamos cada uno. $u' = 2x$, y $v' = e^{x}$ por a).

3. Aplicamos la regla. $f' = u'v + uv' = 2x e^{x} + x^{2} e^{x}$.

4. Sacamos factor común. $f'(x) = x \left(x + 2\right) e^{x}$.

Respuesta: $f'(x) = x \left(x + 2\right) e^{x}$

c)

1. Partimos de b). Hay que derivar $f'(x) = x \left(x + 2\right) e^{x}$, que es de nuevo un producto.

2. Identificamos los factores. $u = x^{2} + 2x$ y $v = e^{x}$.

3. Aplicamos la regla. $f'' = (2x + 2)e^{x} + (x^{2} + 2x)e^{x}$.

4. Sumamos los paréntesis. $f''(x) = \left(x^{2} + 4 x + 2\right) e^{x}$.

Respuesta: $f''(x) = \left(x^{2} + 4 x + 2\right) e^{x}$

d)

1. Recordamos qué es. $dy = f'(a)\, dx$: es cuánto cambiaría $f$ si se moviera exactamente sobre la tangente.

2. Evaluamos la derivada de b). $f'(1) = (1^{2} + 2 \cdot 1) e^{1} = 3 e$.

3. Multiplicamos. $dy = 3 e \cdot 0{,}1 = \dfrac{3 e}{10} \approx 0{,}8155$.

4. Comparamos con el cambio real. El cambio verdadero es $f(\dfrac{11}{10}) - f(1) \approx 0{,}9168$. El diferencial se le parece porque el paso es chico.

Respuesta: $dy = \dfrac{3 e}{10} \approx 0{,}8155$

1. Identificamos. $u = x^{2}$ y $v = x - 1$, con $u' = 2x$ y $v' = 1$.

2. Aplicamos la regla. $f' = \dfrac{u'v - uv'}{v^{2}} = \dfrac{2x(x - 1) - x^{2}}{(x - 1)^{2}}$.

3. Desarrollamos el numerador. $2x^{2} - 2x - x^{2} = x^{2} - 2x$.

4. Escribimos el resultado. $f'(x) = \dfrac{x^{2} - 2 x}{x^{2} - 2 x + 1}$.

Respuesta: $f'(x) = \dfrac{x^{2} - 2 x}{x^{2} - 2 x + 1}$

b)

1. Miramos el dominio. En $x = 1$ el denominador se anula, así que ni siquiera existe $f$.

2. Sacamos la conclusión. Para tener derivada en un punto hay que estar definido en ese punto. Si no hay valor, no hay cociente incremental.

3. Miramos la derivada de a). $f'$ también tiene $(x - 1)^{2}$ abajo, así que tampoco está definida ahí. Es coherente.

4. Aclaramos. No es un pico ni una tangente vertical: es una asíntota. El gráfico ni siquiera pasa por ahí.

Respuesta: no tiene derivada en $x = 1$, porque ahí no está definida

c)

1. Evaluamos la derivada de a). $f'(2) = \dfrac{2^{2} - 2 \cdot 2}{(2 - 1)^{2}} = 0$.

2. Evaluamos la función. $f(2) = \dfrac{2^{2}}{2 - 1} = 4$.

3. Armamos la recta. Con pendiente $0$ la tangente es horizontal: $y = 4$.

4. Interpretamos. Pendiente cero significa que en $x = 2$ la función tiene un punto crítico.

Respuesta: $y = 4$

d)

1. Partimos de a). Hay que derivar $f'(x) = \dfrac{x^{2} - 2 x}{x^{2} - 2 x + 1}$, otro cociente.

2. Aplicamos la regla del cociente. $u = x^{2} - 2x$ y $v = (x - 1)^{2}$, con $u' = 2x - 2$ y $v' = 2(x - 1)$.

3. Armamos y simplificamos. $f''(x) = \dfrac{(2x - 2)(x - 1)^{2} - (x^{2} - 2x) \cdot 2(x - 1)}{(x - 1)^{4}} = \dfrac{2}{x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1}$.

4. Usamos el resultado. En $x = 2$ da $f''(2) = 2$, positivo, así que el punto crítico de c) es un mínimo local.

Respuesta: $f''(x) = \dfrac{2}{x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1}$

1. Damos las dos. La derivada de $\operatorname{sen}(x)$ es $\cos(x)$, y la de $\cos(x)$ es $-\operatorname{sen}(x)$.

2. Marcamos el signo. El menos aparece solo al derivar el coseno. Es el error más frecuente del tema.

3. Aclaramos la condición. Valen con el ángulo en radianes. En grados aparece un factor de conversión.

Respuesta: la derivada de $\operatorname{sen}(x)$ es $\cos(x)$ y la de $\cos(x)$ es $-\operatorname{sen}(x)$

b)

1. Identificamos las dos capas. La de afuera es el seno y la de adentro es $2x$.

2. Derivamos la de afuera sin tocar la de adentro. Queda $\cos(2x)$, usando a).

3. Multiplicamos por la derivada de adentro. La derivada de $2x$ es $2$, así que $f'(x) = 2 \cos{\left(2 x \right)}$.

4. Marcamos el error típico. Olvidarse del factor $2$ es lo más común. Sin él la respuesta queda a mitad de camino.

Respuesta: $f'(x) = 2 \cos{\left(2 x \right)}$

c)

1. Derivamos b). $f''(x) = - 4 \operatorname{sen}{\left(2 x \right)}$: sale otro factor $2$ por la cadena y el menos por derivar el coseno.

2. Y otra vez. $f'''(x) = - 8 \cos{\left(2 x \right)}$.

3. Miramos el patrón. Cada derivada suma un factor $2$ y rota entre seno y coseno. Cada cuatro derivadas se vuelve al principio, multiplicado por $16$.

Respuesta: $f''(x) = - 4 \operatorname{sen}{\left(2 x \right)}$ y $f'''(x) = - 8 \cos{\left(2 x \right)}$

d)

1. Evaluamos. $f(0) = \operatorname{sen}(0) = 0$ y, por b), $f'(0) = 2\cos(0) = 2$.

2. Armamos la recta. $L(x) = 0 + 2(x - 0) = 2 x$.

3. Estimamos. Con $x = 0{,}05$ queda $L(0{,}05) = 0{,}1$, y el valor real es $\operatorname{sen}(0{,}1) \approx 0{,}0998$.

4. Interpretamos. Cerca de cero el seno se parece mucho a una recta. Es la razón de que en física se use $\operatorname{sen}(\theta) \approx \theta$ para ángulos chicos.

Respuesta: $L(x) = 2 x$

1. Damos la derivada. La derivada de $\ln(x)$ es $\dfrac{1}{x}$.

2. Marcamos el dominio. El logaritmo natural está definido para $x > 0$, así que la fórmula vale ahí.

3. Aclaramos lo que viene. Cuando adentro del logaritmo hay algo más que $x$, esta fórmula sola no alcanza: hace falta la cadena.

Respuesta: la derivada de $\ln(x)$ es $\dfrac{1}{x}$, para $x > 0$

b)

1. Identificamos las capas. La de afuera es el logaritmo y la de adentro es $x^{2} + 1$.

2. Derivamos la de afuera. Por a) queda $\dfrac{1}{x^{2} + 1}$.

3. Multiplicamos por la de adentro. La derivada de $x^{2} + 1$ es $2x$, así que $f'(x) = \dfrac{2 x}{x^{2} + 1}$.

4. Notamos algo. El dominio de $f$ son todos los reales, porque $x^{2} + 1$ nunca es cero ni negativo.

Respuesta: $f'(x) = \dfrac{2 x}{x^{2} + 1}$

c)

1. Evaluamos los extremos. $f(0) = \ln(1) = 0$ y $f(1) = \ln(2) \approx 0{,}6931$.

2. Calculamos la secante. Su pendiente es $\dfrac{\ln(2) - 0}{1 - 0} = \ln(2) \approx 0{,}6931$.

3. Calculamos la tangente con b). $f'(1) = \dfrac{2 \cdot 1}{1^{2} + 1} = 1$.

4. Comparamos. La tangente en el extremo derecho es más empinada que la secante: $1$ contra $\approx 0{,}6931$. Tiene sentido, porque la función viene creciendo cada vez más rápido en ese tramo.

Respuesta: secante $\approx 0{,}6931$ y tangente $= 1$

d)

1. Escribimos la fórmula. $dy = f'(a)\, dx$.

2. Usamos la derivada de c). $f'(1) = 1$.

3. Multiplicamos. $dy = 1 \cdot 0{,}05 = 0{,}05$.

4. Comparamos con el cambio real. El cambio verdadero es $f(\dfrac{21}{20}) - f(1) \approx 0{,}05$, un poco más que el diferencial porque la función es cóncava hacia abajo ahí.

Respuesta: $dy = 0{,}05$

1. Derivamos los dos lados respecto de $x$. Cada término se deriva como siempre, pero $y$ es función de $x$, así que al derivar $y^{2}$ hay que aplicar la cadena.

2. Escribimos lo que queda. $2x + 2y \cdot y' = 0$. El $y'$ que aparece multiplicando es el factor de la cadena.

3. Despejamos. $2y \cdot y' = -2x$, o sea $y' = - \dfrac{x}{y}$.

4. Notamos algo. La derivada quedó en función de $x$ y de $y$ a la vez. Es lo normal en implícita: para evaluarla hacen falta las dos coordenadas del punto.

Respuesta: $y' = - \dfrac{x}{y}$

b)

1. Verificamos que el punto está en la curva. $3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25$, así que sí.

2. Reemplazamos en a). $y' = - \dfrac{x}{y}$ evaluado en $x = 3$ e $y = 4$ da $- \dfrac{3}{4}$.

3. Interpretamos el signo. Es negativa, y tiene sentido: en el cuadrante donde las dos coordenadas son positivas, la circunferencia baja.

Respuesta: la pendiente es $- \dfrac{3}{4}$

c)

1. Armamos la tangente. Con la pendiente de b): $y - 4 = - \dfrac{3}{4}(x - 3)$, o sea $y = \dfrac{25}{4} - \dfrac{3 x}{4}$.

2. Calculamos la pendiente de la normal. La normal es perpendicular, así que su pendiente es $-\dfrac{1}{- \dfrac{3}{4}} = \dfrac{4}{3}$.

3. Armamos la normal. $y - 4 = \dfrac{4}{3}(x - 3)$, o sea $y = \dfrac{4 x}{3}$.

4. Verificamos algo lindo. La normal pasa por el origen: en $x = 0$ da $0$. Tiene que ser así, porque en una circunferencia la normal es el radio.

Respuesta: tangente $y = \dfrac{25}{4} - \dfrac{3 x}{4}$ y normal $y = \dfrac{4 x}{3}$

d)

1. Miramos dónde falla la fórmula de a). $y' = - \dfrac{x}{y}$ necesita $y \neq 0$.

2. Buscamos esos puntos. Con $y = 0$ la ecuación da $x^{2} = 25$, o sea $x = 5$ y $x = -5$.

3. Explicamos qué pasa ahí. Son los extremos horizontales de la circunferencia. La tangente existe pero es vertical, y una recta vertical no tiene pendiente.

4. Marcamos la diferencia. No es como el caso de una función que no está definida: acá la curva está perfectamente bien, lo que no existe es el número que mediría la pendiente.

Respuesta: no hay derivada en $(5, 0)$ ni en $(-5, 0)$: ahí la tangente vertical no tiene pendiente

1. Explicamos por qué no sirve lo de siempre. No es la regla de la potencia, porque el exponente no es constante, y tampoco la exponencial, porque la base no lo es. Hay variable arriba y abajo.

2. Tomamos logaritmo de los dos lados. $\ln(f(x)) = \ln(x^{x}) = x\ln(x)$.

3. Derivamos los dos lados. A la izquierda, por la cadena, queda $\dfrac{f'(x)}{f(x)}$. A la derecha, por la regla del producto, queda $\ln(x) + x \cdot \dfrac{1}{x} = \ln(x) + 1$.

4. Despejamos. $f'(x) = f(x)(\ln(x) + 1) = x^{x}(\ln(x) + 1)$.

Respuesta: $f'(x) = x^{x}(\ln(x) + 1)$

b)

1. Reemplazamos en a). $f'(1) = 1^{1}(\ln(1) + 1)$.

2. Usamos que el logaritmo de uno es cero. $\ln(1) = 0$, así que queda $1 \cdot (0 + 1) = 1$.

3. Interpretamos. En $x = 1$ la función crece a razón de una unidad por unidad: la tangente ahí tiene pendiente $1$.

Respuesta: $f'(1) = 1$

c)

1. Evaluamos la función. $f(1) = 1^{1} = 1$.

2. Tomamos la pendiente de b). $f'(1) = 1$.

3. Armamos la recta. $L(x) = 1 + 1(x - 1)$, que se simplifica a $L(x) = x$.

4. Miramos lo que dice. Cerca de $x = 1$, la función $x^{x}$ se parece a la recta $y = x$. Es un resultado que sorprende y se verifica: $f(1{,}01) \approx 1{,}0101$ contra $L(1{,}01) = 1{,}01$.

Respuesta: $L(x) = x$

d)

1. Escribimos la fórmula. $dy = f'(a)\, dx$.

2. Reemplazamos con b). $dy = 1 \cdot 0{,}01 = 0{,}01$.

3. Calculamos el cambio verdadero. $f(\dfrac{101}{100}) - f(1) \approx 0{,}0101$.

4. Comparamos. El diferencial se queda corto por muy poco. La diferencia entre los dos es el error de aproximar la curva por su tangente, y con un paso tan chico es despreciable.

Respuesta: $dy = 0{,}01$

1. Damos la fórmula. La derivada de $\operatorname{arctg}(x)$ es $\dfrac{1}{1 + x^{2}}$.

2. Vemos de dónde sale. Si $y = \operatorname{arctg}(x)$ entonces $\operatorname{tg}(y) = x$. Derivando implícitamente: $(1 + \operatorname{tg}^{2}(y)) \, y' = 1$, y como $\operatorname{tg}(y) = x$, queda $y' = \dfrac{1}{1 + x^{2}}$.

3. Notamos algo. La derivada es siempre positiva, así que el arco tangente es creciente en todos los reales, y nunca se anula.

Respuesta: la derivada de $\operatorname{arctg}(x)$ es $\dfrac{1}{1 + x^{2}}$

b)

1. Identificamos las capas. La de afuera es el arco tangente y la de adentro es $2x$.

2. Derivamos la de afuera. Por a), y con $2x$ en el lugar de la variable, queda $\dfrac{1}{1 + (2x)^{2}} = \dfrac{1}{1 + 4x^{2}}$.

3. Multiplicamos por la de adentro. La derivada de $2x$ es $2$, así que $f'(x) = \dfrac{2}{4 x^{2} + 1}$.

4. Marcamos el error típico. Escribir $1 + 2x^{2}$ abajo en vez de $1 + 4x^{2}$: el cuadrado cae sobre todo el $2x$, no solo sobre la $x$.

Respuesta: $f'(x) = \dfrac{2}{4 x^{2} + 1}$

c)

1. Evaluamos los extremos. $f(0) = \operatorname{arctg}(0) = 0$ y $f(1) = \operatorname{arctg}(2) \approx 1{,}1071$.

2. Aplicamos la fórmula. La tasa media es $\dfrac{\operatorname{arctg}(2) - 0}{1 - 0} = \operatorname{arctg}(2) \approx 1{,}1071$.

3. Qué significa. Es la pendiente de la recta que une los dos extremos del tramo, no la pendiente en ningún punto en particular.

Respuesta: tasa de variación media $= \operatorname{arctg}(2) \approx 1{,}1071$

d)

1. Calculamos la tangente en el extremo izquierdo. Con b): $f'(0) = \dfrac{2}{1 + 0} = 2$.

2. Calculamos la del extremo derecho. $f'(1) = \dfrac{2}{1 + 4} = \dfrac{2}{5}$.

3. Comparamos con la secante. La secante de c) vale $\approx 1{,}1071$, y queda entre las dos: $\dfrac{2}{5}$ por un lado y $2$ por el otro.

4. Explicamos por qué tiene que pasar. La pendiente arranca en el máximo y va bajando, así que el promedio del tramo cae en el medio. El teorema del valor medio garantiza que hay un punto donde la tangente vale exactamente lo que la secante.

Respuesta: la secante $\approx 1{,}1071$ queda entre $\dfrac{2}{5}$ y $2$

1. Derivamos con la regla de la potencia. $f'(x) = 5 x^{4} + 1$.

2. Miramos el signo. $x^{4}$ nunca es negativo, así que $5x^{4} + 1 \geq 1 > 0$ para todo $x$.

3. Concluimos. La derivada es siempre positiva, así que $f$ es estrictamente creciente en todos los reales, y por lo tanto inyectiva. Eso garantiza que tiene inversa.

Respuesta: $f'(x) = 5 x^{4} + 1$, siempre positiva

b)

1. Buscamos el punto de partida. Hace falta el $a$ con $f(a) = 2$. Probando, $f(1) = 1 + 1 = 2$, así que $a = 1$.

2. Escribimos la fórmula. $(f^{-1})'(b) = \dfrac{1}{f'(a)}$, con $f(a) = b$.

3. Evaluamos la derivada de a). $f'(1) = 5 \cdot 1^{4} + 1 = 6$.

4. Cerramos. $(f^{-1})'(2) = \dfrac{1}{6}$. Notar que nunca hizo falta despejar $f^{-1}$, que además no se puede escribir con radicales.

Respuesta: $(f^{-1})'(2) = \dfrac{1}{6}$

c)

1. Escribimos la relación. Si $y = f^{-1}(x)$ entonces $f(y) = x$, o sea $y^{5} + y = x$.

2. Derivamos los dos lados respecto de $x$. $5y^{4} \cdot y' + y' = 1$, con el $y'$ que trae la cadena en cada término con $y$.

3. Despejamos. $y'(5y^{4} + 1) = 1$, o sea $y' = \dfrac{1}{5y^{4} + 1}$.

4. Evaluamos en el punto. Para $x = 2$ le corresponde $y = 1$, así que $y' = \dfrac{1}{5 + 1} = \dfrac{1}{6}$. Mismo resultado que b), por otro camino.

Respuesta: $y' = \dfrac{1}{5y^{4} + 1}$, que en el punto vale $\dfrac{1}{6}$

d)

1. Aplicamos la regla. Con numerador constante, $g' = \dfrac{0 \cdot f - 1 \cdot f'}{f^{2}} = -\dfrac{f'}{f^{2}}$.

2. Escribimos $g'$. $g'(x) = \dfrac{- 5 x^{4} - 1}{x^{10} + 2 x^{6} + x^{2}}$.

3. Evaluamos. Con los valores de b), $f'(1) = 6$ y $f(1) = 2$, así que $g'(1) = -\dfrac{6}{2^{2}} = - \dfrac{3}{2}$.

4. Miramos el signo. Es negativo, y tiene que serlo: si $f$ crece y es positiva, su recíproca decrece.

Respuesta: $g'(1) = - \dfrac{3}{2}$

1. Identificamos los factores. $u = x^{2} + 1$ y $v = x^{3} - x$.

2. Derivamos cada uno. $u' = 2 x$ y $v' = 3 x^{2} - 1$.

3. Aplicamos la regla. $f' = u'v + uv' = 2x(x^{3} - x) + (x^{2} + 1)(3x^{2} - 1)$.

4. Desarrollamos y juntamos. $2x^{4} - 2x^{2} + 3x^{4} - x^{2} + 3x^{2} - 1 = 5 x^{4} - 1$.

Respuesta: $f'(x) = 5 x^{4} - 1$

b)

1. Multiplicamos. $(x^{2} + 1)(x^{3} - x) = x^{5} - x^{3} + x^{3} - x$.

2. Cancelamos. Los dos términos de grado tres se van, así que $f(x) = x^{5} - x$.

3. Derivamos la resta. La derivada de una resta es la resta de las derivadas: $f'(x) = 5x^{4} - 1$.

4. Comparamos con a). Dio lo mismo, como tenía que ser. Si los dos caminos no coinciden, el error está en uno de los dos y conviene revisar el signo del segundo término de la regla del producto.

Respuesta: $f(x) = x^{5} - x$ y $f'(x) = 5 x^{4} - 1$

c)

1. Tomamos la forma de b). $f(x) = x^{5} - x$.

2. Aplicamos la potencia al primer término. La derivada de $x^{5}$ es $5x^{4}$.

3. Y al segundo. La derivada de $x$ es $1$.

4. Cerramos. $f'(x) = 5 x^{4} - 1$, que coincide con a) y con b). Tres caminos, un resultado.

Respuesta: $f'(x) = 5 x^{4} - 1$

d)

1. Elegimos la regla. Con la forma desarrollada de b), $g(x) = (x^{5} - x)^{3}$, que es una potencia de una función: va la cadena.

2. Derivamos la capa de afuera. La derivada de $u^{3}$ es $3u^{2}$, así que queda $3(x^{5} - x)^{2}$.

3. Multiplicamos por la de adentro. La derivada de adentro es la de a), b) y c): $5 x^{4} - 1$.

4. Escribimos el resultado. $g'(x) = 3(x^{5} - x)^{2}(5 x^{4} - 1)$. Conviene dejarlo factorizado: desarrollarlo daría un polinomio de grado catorce sin ninguna ventaja.

Respuesta: $g'(x) = 3(x^{5} - x)^{2}(5 x^{4} - 1)$

1. Derivamos. $f'(x) = \cos{\left(x \right)}$.

2. Miramos el signo en el intervalo. Entre $-\dfrac{\pi}{2}$ y $\dfrac{\pi}{2}$ el coseno es positivo (salvo en los bordes, donde vale cero), así que ahí el seno es creciente.

3. Explicamos la restricción. Sin restringir, el seno repite cada valor infinitas veces y no tiene inversa. En este tramo es inyectivo y sí la tiene.

Respuesta: $f'(x) = \cos{\left(x \right)}$

b)

1. Damos la fórmula. La derivada de $\operatorname{arcsen}(x)$ es $\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$.

2. Marcamos el dominio. El arco seno está definido en $[-1, 1]$, pero la derivada pide $1 - x^{2} > 0$, así que la fórmula vale solo en el intervalo abierto $(-1, 1)$.

3. Explicamos los bordes. En $x = 1$ y en $x = -1$ la tangente al arco seno es vertical, que es el reflejo de que ahí el coseno de a) se anula.

Respuesta: la derivada de $\operatorname{arcsen}(x)$ es $\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$, en $(-1, 1)$

c)

1. Buscamos el punto de partida. Hace falta el $a$ del intervalo con $\operatorname{sen}(a) = \dfrac{1}{2}$: es $a = \dfrac{\pi}{6}$.

2. Aplicamos la fórmula. $(f^{-1})'(\dfrac{1}{2}) = \dfrac{1}{f'(a)} = \dfrac{1}{\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)}$.

3. Calculamos. $\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, así que el resultado es $\dfrac{2 \sqrt{3}}{3} \approx 1{,}1547$.

4. Verificamos con b). La fórmula de b) da $\dfrac{1}{\sqrt{1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}}} = \dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{3}{4}}} = \dfrac{2 \sqrt{3}}{3}$. Coinciden.

Respuesta: $(f^{-1})'\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{2 \sqrt{3}}{3} \approx 1{,}1547$

d)

1. Vemos por qué hace falta. La base y el exponente dependen los dos de $x$, así que no sirve ni la potencia ni la exponencial.

2. Tomamos logaritmo. $\ln(h(x)) = x\ln(\operatorname{sen}(x))$, válido donde el seno es positivo.

3. Derivamos los dos lados. A la izquierda queda $\dfrac{h'(x)}{h(x)}$. A la derecha, con la regla del producto y la cadena, $\ln(\operatorname{sen}(x)) + x \cdot \dfrac{\cos(x)}{\operatorname{sen}(x)}$, usando la derivada de a).

4. Despejamos. $h'(x) = (\operatorname{sen}(x))^{x}\left(\ln(\operatorname{sen}(x)) + \dfrac{x \cos(x)}{\operatorname{sen}(x)}\right)$.

Respuesta: $h'(x) = (\operatorname{sen}(x))^{x}\left(\ln(\operatorname{sen}(x)) + \dfrac{x \cos(x)}{\operatorname{sen}(x)}\right)$