Integradores de Límites y continuidad

1. Reemplazamos en el denominador. En $x = 2$ da $2^{2} + 2 - 6 = 0$, así que el denominador ya se anula solo.

2. Pedimos que el numerador también se anule. Para que salga cero sobre cero hace falta $2^{2} + k \cdot 2 - 10 = 0$.

3. Despejamos $k$. $4 - 10 + 2k = 0$, o sea $2k = 6$ y $k = 3$.

Respuesta: $k = 3$

b)

1. Escribimos $f$ con el $k$ hallado. $f(x) = \dfrac{x^{2} + 3x - 10}{x^{2} + x - 6}$.

2. Factorizamos el numerador. Sus raíces son $2$ y $-5$, así que $x^{2} + 3x - 10 = (x - 2)(x + 5)$.

3. Factorizamos el denominador. Sus raíces son $2$ y $-3$, así que $x^{2} + x - 6 = (x - 2)(x + 3)$.

4. Simplificamos y evaluamos. Para $x \neq 2$ queda $\dfrac{x + 5}{x + 3}$, y en $x = 2$ vale $\dfrac{2 + 5}{2 + 3} = \dfrac{7}{5}$.

Respuesta: $\lim_{x \to 2} f(x) = \dfrac{7}{5}$

c)

1. Vemos por qué hay discontinuidad. En $x = 2$ el denominador original se anula, así que $f$ no está definida ahí: falla la primera condición.

2. Miramos el límite. Por b) el límite existe y es finito: vale $\dfrac{7}{5}$.

3. Clasificamos. El límite existe pero la función no está definida en el punto, así que la discontinuidad es evitable: en el gráfico es un agujero.

4. La evitamos. Alcanza con definir $f(2) = \dfrac{7}{5}$, o sea el valor del límite.

Respuesta: evitable; se evita definiendo $f(2) = \dfrac{7}{5}$

d)

1. Descartamos el factor que se cancela. Por b) el factor $x - 2$ se simplifica, así que $x = 2$ no da asíntota: da el agujero de c).

2. Queda la otra raíz del denominador. $x + 3 = 0$ da $x = -3$, y ahí el numerador simplificado vale $-3 + 5 = 2$, distinto de cero.

3. Lateral derecho. Cuando $x \to -3^{+}$ el denominador $x + 3$ es positivo y chiquito y el numerador vale casi $2$, así que $\lim_{x \to -3^+} f(x) = +\infty$.

4. Lateral izquierdo. Cuando $x \to -3^{-}$ el denominador es negativo y chiquito, así que $\lim_{x \to -3^-} f(x) = -\infty$.

Respuesta: asíntota vertical $x = -3$, con $-\infty$ por izquierda y $+\infty$ por derecha

1. Miramos el numerador. Manda el término de mayor grado, $3x^{2}$, así que el numerador tiende a $+\infty$.

2. Miramos el denominador. Manda $x^{2}$, así que también tiende a $+\infty$.

3. Nombramos el caso. Arriba y abajo se van los dos a $+\infty$: es la indeterminación infinito sobre infinito, y hasta que no se salve no dice nada.

Respuesta: los dos tienden a $+\infty$: aparece la indeterminación infinito sobre infinito

b)

1. Elegimos la potencia. Como en a) vimos que aparece la indeterminación infinito sobre infinito, dividimos numerador y denominador por la potencia más alta, que es $x^{2}$.

2. Escribimos el cociente dividido. $f(x) = \dfrac{3 + \dfrac{5}{x} - \dfrac{2}{x^{2}}}{1 + \dfrac{3}{x} - \dfrac{4}{x^{2}}}$.

3. Cada término con $x$ abajo se va a cero. Quedan solo los coeficientes principales: $\dfrac{3 + 0 - 0}{1 + 0 - 0}$.

4. Calculamos. $\dfrac{3}{1} = 3$, así que el límite vale $3$.

Respuesta: $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 3$

c)

1. Leemos el límite como una recta. Si el límite en el infinito es $3$, la recta $y = 3$ es asíntota horizontal.

2. Repetimos hacia $-\infty$. Los términos con $x$ en el denominador también se van a cero cuando $x \to -\infty$, así que $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 3$.

3. Escribimos la conclusión. La misma recta $y = 3$ sirve para los dos extremos.

Respuesta: $y = 3$, asíntota horizontal en $+\infty$ y en $-\infty$

d)

1. Buscamos las raíces del denominador. $x^{2} + 3x - 4 = (x - 1)(x + 4)$, que se anula en $x = 1$ y en $x = -4$.

2. Chequeamos que el numerador no se anule ahí. En $x = 1$ el numerador vale $6$ y en $x = -4$ vale $26$, los dos distintos de cero: no hay factor para cancelar, así que las dos son asíntotas y no agujeros.

3. Lateral derecho. Cuando $x \to 1^{+}$ el numerador vale casi $6$ y el producto $(x - 1)(x + 4)$ es positivo y chiquito, así que $\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty$.

4. Lateral izquierdo. Cuando $x \to 1^{-}$ el factor $x - 1$ es negativo, así que el producto es negativo y chiquito: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty$.

Respuesta: asíntotas verticales $x = 1$ y $x = -4$; en $x = 1$ la curva va a $-\infty$ por izquierda y a $+\infty$ por derecha

1. Elegimos la fórmula de cada lado. A la izquierda de $3$ rige $m x - 1$ y a la derecha $x^{2} + 2$.

2. Lateral izquierdo. $\lim_{x \to 3^-} \left(m x - 1\right) = 3m - 1$.

3. Lateral derecho. $\lim_{x \to 3^+} \left(x^{2} + 2\right) = 3^{2} + 2 = 11$.

Respuesta: por izquierda $3m - 1$ y por derecha $11$

b)

1. Ubicamos el único punto a estudiar. Cada rama es un polinomio y los polinomios son continuos, así que la continuidad solo puede fallar en $x = 3$.

2. Escribimos la condición. Para que el límite exista los dos laterales tienen que coincidir: $3m - 1 = 11$.

3. Despejamos. $3m = 12$, así que $m = 4$.

4. Verificamos. Con $m = 4$ el lateral izquierdo vale $4 \cdot 3 - 1 = 11$, igual al derecho.

Respuesta: $m = 4$

c)

1. Primera condición: la función está definida. La condición $x \geq 3$ incluye al punto, así que $f(3) = 3^{2} + 2 = 11$.

2. Segunda condición: el límite existe. Con $m = 4$ los dos laterales de a) valen $11$, así que $\lim_{x \to 3} f(x) = 11$.

3. Tercera condición: coinciden. El límite vale $11$ y $f(3) = 11$: son el mismo número.

4. Concluimos. Las tres se cumplen, así que $f$ es continua en $x = 3$, y con eso lo es en todo su dominio.

Respuesta: las tres condiciones se cumplen: $f(3) = 11$ y el límite también vale $11$, así que $f$ es continua en $x = 3$

d)

1. Escribimos qué hay que lograr. Dado $\varepsilon > 0$ hay que hallar $\delta > 0$ tal que si $0 < |x - 3| < \delta$ entonces $|(4x - 1) - 11| < \varepsilon$.

2. Trabajamos la desigualdad de la salida. $|(4x - 1) - 11| = |4x - 12| = 4|x - 3|$.

3. Despejamos la distancia al punto. Pedir $4|x - 3| < \varepsilon$ es pedir $|x - 3| < \dfrac{\varepsilon}{4}$.

4. Elegimos $\delta$. Con $\delta = \dfrac{\varepsilon}{4}$ la implicación se cumple para cualquier $\varepsilon$, así que el límite es $11$.

Respuesta: $\delta = \dfrac{\varepsilon}{4}$

1. Reemplazamos en el numerador. $\sqrt{9 + 7} - 4 = \sqrt{16} - 4 = 4 - 4 = 0$.

2. Reemplazamos en el denominador. $9 - 9 = 0$.

3. Nombramos el caso. Los dos se anulan: es la indeterminación cero sobre cero. Como hay una raíz, la técnica no es factorizar sino racionalizar.

Respuesta: cero sobre cero

b)

1. Elegimos el conjugado. Como en a) dio cero sobre cero y hay una raíz, la técnica es racionalizar: el conjugado de $\sqrt{x + 7} - 4$ es $\sqrt{x + 7} + 4$, y multiplicamos arriba y abajo por él.

2. Desarrollamos solo el numerador. $\left(\sqrt{x + 7} - 4\right)\left(\sqrt{x + 7} + 4\right) = (x + 7) - 16 = x - 9$.

3. Simplificamos. Queda $\dfrac{x - 9}{(x - 9)\left(\sqrt{x + 7} + 4\right)} = \dfrac{1}{\sqrt{x + 7} + 4}$ para $x \neq 9$.

4. Evaluamos. En $x = 9$: $\dfrac{1}{\sqrt{16} + 4} = \dfrac{1}{4 + 4} = \dfrac{1}{8}$.

Respuesta: $\lim_{x \to 9} f(x) = \dfrac{1}{8}$

c)

1. Recordamos las tres condiciones. Hace falta que $f(9)$ exista, que el límite exista y que los dos números coincidan.

2. Usamos el límite de b). El límite existe y vale $\dfrac{1}{8}$, así que la segunda condición ya está.

3. Igualamos. Para que se cumpla la tercera hay que definir $f(9) = \dfrac{1}{8}$.

4. Concluimos. Con $k = \dfrac{1}{8}$ la función extendida es continua en $x = 9$.

Respuesta: $k = \dfrac{1}{8}$

d)

1. Escribimos el valor nuevo. $f(9) = \dfrac{1}{8} + 1 = \dfrac{9}{8}$.

2. Vemos qué condiciones se cumplen. La función está definida en $9$ y el límite existe y vale $\dfrac{1}{8}$: las dos primeras condiciones se cumplen.

3. Vemos cuál falla. Falla la tercera: el límite vale $\dfrac{1}{8}$ y la función vale $\dfrac{9}{8}$, que son números distintos.

4. Clasificamos. El límite existe pero no coincide con el valor, así que la discontinuidad es evitable: hay un punto suelto arriba del agujero. Se arregla volviendo a definir $f(9) = \dfrac{1}{8}$, o sea el $k$ de c).

Respuesta: evitable; se arregla redefiniendo $f(9) = \dfrac{1}{8}$

1. Reemplazamos en el numerador. $\operatorname{sen}(5 \cdot 0) = \operatorname{sen} 0 = 0$.

2. Reemplazamos en el denominador. $2 \cdot 0 = 0$.

3. Nombramos el caso. Es cero sobre cero, pero no hay polinomios para factorizar ni raíces para racionalizar: es el caso del seno sobre su argumento.

Respuesta: cero sobre cero

b)

1. Recordamos el límite conocido. Como en a) dio cero sobre cero sin polinomios ni raíces, el camino es el límite del seno sobre su argumento: $\lim_{u \to 0} \dfrac{\operatorname{sen} u}{u} = 1$, siempre que arriba y abajo esté exactamente lo mismo.

2. Vemos que no coinciden. Arriba el argumento es $5x$ y abajo hay $2x$.

3. Acomodamos. $\dfrac{\operatorname{sen}(5x)}{2x} = \dfrac{5}{2} \cdot \dfrac{\operatorname{sen}(5x)}{5x}$.

4. Calculamos. Cuando $x \to 0$ también $5x \to 0$, así que el segundo factor tiende a $1$ y el límite es $\dfrac{5}{2}$.

Respuesta: $\lim_{x \to 0} f(x) = \dfrac{5}{2}$

c)

1. Reemplazamos. $f(0{,}02) = \dfrac{\operatorname{sen}(0{,}1)}{0{,}04}$.

2. Calculamos el cociente. Da $\approx 2{,}4958$.

3. Comparamos con el límite. El límite vale $\dfrac{5}{2} = 2{,}5$, y la diferencia es $\approx 0{,}0042$.

4. Interpretamos. La función no está definida en $x = 0$, y sin embargo los valores cercanos se amontonan alrededor de $2{,}5$. Eso es exactamente lo que afirma el límite: importa hacia dónde apunta la función, no cuánto vale en el punto.

Respuesta: $f(0{,}02) \approx 2{,}4958$, a $\approx 0{,}0042$ del límite $\dfrac{5}{2}$

d)

1. Lateral derecho. Para $x \to 0^{+}$ el argumento $5x \to 0^{+}$ y el cociente $\dfrac{\operatorname{sen}(5x)}{5x} \to 1$, así que el lateral vale $\dfrac{5}{2}$.

2. Lateral izquierdo. Para $x \to 0^{-}$ el seno es impar, así que numerador y denominador cambian de signo los dos y el cociente vuelve a tender a $1$: el lateral también vale $\dfrac{5}{2}$.

3. Concluimos. Los dos laterales existen y coinciden, así que el límite existe y vale $\dfrac{5}{2}$, lo mismo que dio b).

Respuesta: los dos laterales valen $\dfrac{5}{2}$, así que el límite existe

1. Miramos la base. $\dfrac{3}{x} \to 0$ porque tiene la variable en el denominador, así que la base $1 + \dfrac{3}{x} \to 1$.

2. Miramos el exponente. $2x \to +\infty$.

3. Nombramos el caso. Base que tiende a uno y exponente que se va a infinito: es la indeterminación $1^{\infty}$. No da uno, porque la base no vale exactamente uno.

Respuesta: la base tiende a $1$ y el exponente a $+\infty$: indeterminación $1^{\infty}$

b)

1. Separamos el exponente. $\left(1 + \dfrac{3}{x}\right)^{2x} = \left[\left(1 + \dfrac{3}{x}\right)^{x}\right]^{2}$.

2. Llevamos el corchete a la forma conocida. $\left(1 + \dfrac{3}{x}\right)^{x} = \left[\left(1 + \dfrac{3}{x}\right)^{\frac{x}{3}}\right]^{3}$, y lo de adentro tiene la forma $\left(1 + u\right)^{1/u}$ con $u = \dfrac{3}{x} \to 0$.

3. Usamos el límite conocido. El corchete de adentro tiende a $e$, así que $\left(1 + \dfrac{3}{x}\right)^{x} \to e^{3}$.

4. Elevamos y aproximamos. Elevando a la $2$ queda $\left(e^{3}\right)^{2} = e^{6} \approx 403{,}4288$.

Respuesta: $\lim_{x \to +\infty} f(x) = e^{6} \approx 403{,}4288$

c)

1. Leemos el límite como una recta. El límite en $+\infty$ existe y es finito, así que la recta $y = e^{6}$ es asíntota horizontal.

2. Aclaramos el lado. Como $f$ está definida solo para $x > 0$, la asíntota es únicamente hacia $+\infty$: no hay nada que mirar del otro lado.

3. Damos la altura. La recta está a la altura $e^{6} \approx 403{,}4288$.

Respuesta: $y = e^{6} \approx 403{,}4288$, solo hacia $+\infty$

d)

1. Chequeamos la condición de la propiedad. El límite del cociente es el cociente de los límites siempre que el de abajo no dé cero.

2. Calculamos el límite del denominador. $2 + \dfrac{1}{x} \to 2$, distinto de cero, así que la propiedad se puede aplicar.

3. Aplicamos la propiedad. El límite buscado es $\dfrac{e^{6}}{2}$.

4. Aproximamos. $\dfrac{e^{6}}{2} \approx 201{,}7144$.

Respuesta: $\dfrac{e^{6}}{2} \approx 201{,}7144$

1. Reemplazamos en el numerador. $2 \cdot 4 + 1 = 9$.

2. Reemplazamos en el denominador. $4 - 4 = 0$.

3. Nombramos el caso. Es un número distinto de cero sobre cero. No es indeterminación: la función se dispara. Lo único que falta decidir es el signo de cada lado.

Respuesta: el numerador vale $9$ y el denominador $0$: la función se dispara al infinito

b)

1. Lateral derecho. Para $x \to 4^{+}$ el denominador $x - 4$ es positivo y chiquito, y el numerador vale casi $9$, así que $\lim_{x \to 4^+} f(x) = +\infty$.

2. Lateral izquierdo. Para $x \to 4^{-}$ el denominador es negativo y chiquito, y el numerador sigue valiendo casi $9$, así que $\lim_{x \to 4^-} f(x) = -\infty$.

3. Anotamos el resultado. Los dos laterales existen como comportamiento, pero ninguno es un número.

Respuesta: $+\infty$ por derecha y $-\infty$ por izquierda

c)

1. Comparamos los laterales de b). Uno da $+\infty$ y el otro $-\infty$.

2. Descartamos que exista. Para que el límite exista los dos laterales tienen que dar el mismo número, y acá ni siquiera son números.

3. Decimos de qué forma falla. De las tres formas posibles, esta es la segunda: la función se dispara al infinito. No es un salto, porque en un salto los dos laterales son finitos.

Respuesta: no existe: la función se dispara al infinito

d)

1. Usamos el criterio. Alcanza con que uno de los dos laterales sea infinito para que haya asíntota vertical, y por b) lo son los dos.

2. Escribimos la recta. La asíntota vertical es $x = 4$.

3. Describimos el acercamiento. Viniendo desde la izquierda la curva baja pegada a la recta hacia $-\infty$, y desde la derecha sube hacia $+\infty$.

4. Aclaramos por qué no hay agujero. En $x = 4$ el numerador vale $9$ y no se anula, así que no hay factor que cancelar: es asíntota y no agujero.

Respuesta: asíntota vertical $x = 4$, con $-\infty$ por izquierda y $+\infty$ por derecha

1. Ubicamos el único punto a estudiar. Cada rama es un polinomio, continuo en su intervalo, así que la continuidad solo puede fallar en $x = 2$.

2. Lateral izquierdo. $\lim_{x \to 2^-} \left(x^{2} - 3\right) = 2^{2} - 3 = 1$.

3. Lateral derecho y valor de la función. La condición $x \geq 2$ incluye al punto, así que $f(2) = 2m - 5$, que además es el lateral derecho.

4. Igualamos y despejamos. $2m - 5 = 1$, o sea $2m = 6$ y $m = 3$.

Respuesta: $m = 3$

b)

1. Elegimos la rama para $x = 0$. Como $0 < 2$, rige $x^{2} - 3$: $f(0) = 0^{2} - 3 = -3$.

2. Elegimos la rama para $x = 3$. Como $3 \geq 2$, rige $3x - 5$: $f(3) = 3 \cdot 3 - 5 = 4$.

3. Miramos los signos. $f(0) = -3$ es negativo y $f(3) = 4$ es positivo.

Respuesta: $f(0) = -3$ y $f(3) = 4$

c)

1. Dentro de cada tramo. En $[0, 2)$ vale $x^{2} - 3$ y en $[2, 3]$ vale $3x - 5$: los dos son polinomios, y los polinomios son continuos en todos los reales.

2. En el punto de empalme. Por a), con $m = 3$ los dos laterales en $x = 2$ valen $1$ y $f(2) = 1$: se cumplen las tres condiciones.

3. Concluimos. No queda ningún punto de $[0, 3]$ donde la continuidad falle.

Respuesta: $f$ es continua en $[0, 3]$

d)

1. Verificamos las hipótesis. Bolzano pide continuidad en el intervalo cerrado, que es lo que probamos en c), y signos opuestos en los extremos, que es lo que dio b).

2. Escribimos el producto. $f(0) \cdot f(3) = (-3) \cdot 4 = -12 < 0$.

3. Aplicamos el teorema. Existe al menos un $c$ en $(0, 3)$ con $f(c) = 0$.

4. Ubicamos la raíz. Resolviendo $x^{2} - 3 = 0$ en el primer tramo queda $x = \sqrt{3} \approx 1{,}7321$, que efectivamente está en $(0, 3)$. El segundo tramo no aporta otra: $3x - 5 = 0$ da $x = \dfrac{5}{3}$, que es menor que $2$ y por lo tanto queda fuera de su rama.

Respuesta: hay al menos una raíz en $(0, 3)$; es $x = \sqrt{3} \approx 1{,}7321$

1. Reemplazamos para ver el caso. Arriba $36 - 36 = 0$ y abajo $6 - 6 = 0$: es cero sobre cero.

2. Reconocemos la forma del numerador. $x^{2} - 36$ es una diferencia de cuadrados: $(x - 6)(x + 6)$.

3. Simplificamos el factor común. $\dfrac{(x - 6)(x + 6)}{x - 6} = x + 6$ para $x \neq 6$.

4. Evaluamos. $x + 6$ en $x = 6$ vale $12$.

Respuesta: $\lim_{x \to 6} f(x) = 12$

b)

1. Escribimos qué hay que lograr. Dado $\varepsilon > 0$, hallar $\delta > 0$ tal que si $0 < |x - 6| < \delta$ entonces $|f(x) - 12| < \varepsilon$.

2. Usamos la simplificación de a). Para $x \neq 6$ vale $f(x) = x + 6$, así que $|f(x) - 12| = |x + 6 - 12| = |x - 6|$.

3. Comparamos las dos desigualdades. Pedir $|x - 6| < \varepsilon$ es exactamente la condición de entrada, sin ningún factor de por medio.

4. Elegimos $\delta$. Con $\delta = \varepsilon$ la implicación vale para cualquier $\varepsilon$, así que el límite es $12$.

Respuesta: $\delta = \varepsilon$

c)

1. Aplicamos la fórmula de b). Con $\varepsilon = 0{,}02$ queda $\delta = 0{,}02$.

2. Chequeamos que $x$ esté en el entorno. $|6{,}01 - 6| = 0{,}01$, que es mayor que cero y menor que $\delta = 0{,}02$.

3. Evaluamos la función. $f(6{,}01) = 6{,}01 + 6 = 12{,}01$.

4. Chequeamos la salida. $|12{,}01 - 12| = 0{,}01 < 0{,}02$: la función queda tan cerca de $12$ como se pidió, y eso es lo que significa que el límite sea $12$.

Respuesta: $\delta = 0{,}02$, y con $x = 6{,}01$ la función queda a $0{,}01$ del límite

d)

1. Enunciamos la propiedad. El límite de una suma es la suma de los límites, siempre que los dos existan.

2. Usamos a). $\lim_{x \to 6} f(x) = 12$.

3. Calculamos el otro por cálculo directo. $\lim_{x \to 6} x^{2} = 6^{2} = 36$, porque $x^{2}$ es continua y alcanza con reemplazar.

4. Sumamos. $12 + 36 = 48$.

Respuesta: $48$

1. Miramos la raíz. Adentro manda el término de mayor grado, $x^{2}$, así que $x^{2} + 6x \to +\infty$ y la raíz también.

2. Miramos el otro término. $x \to +\infty$.

3. Nombramos el caso. Es una resta de dos cantidades que se van las dos a $+\infty$: la indeterminación $\infty - \infty$. No se puede concluir nada sin trabajarla, porque las dos crecen a ritmos parecidos.

Respuesta: los dos términos tienden a $+\infty$: indeterminación $\infty - \infty$

b)

1. Elegimos el conjugado. Para salvar la resta de infinitos de a), el conjugado de $\sqrt{x^{2} + 6x} - x$ es $\sqrt{x^{2} + 6x} + x$.

2. Multiplicamos y dividimos. $f(x) = \dfrac{\left(\sqrt{x^{2} + 6x} - x\right)\left(\sqrt{x^{2} + 6x} + x\right)}{\sqrt{x^{2} + 6x} + x}$.

3. Desarrollamos solo el numerador. Es una diferencia de cuadrados: $(x^{2} + 6x) - x^{2} = 6x$.

4. Escribimos el resultado. $f(x) = \dfrac{6x}{\sqrt{x^{2} + 6x} + x}$, sin la resta de infinitos.

Respuesta: $f(x) = \dfrac{6x}{\sqrt{x^{2} + 6x} + x}$

c)

1. Vemos qué indeterminación quedó. Arriba $6x \to +\infty$ y abajo la suma también, así que ahora es $\infty / \infty$.

2. Sacamos $x$ de la raíz. Como $x > 0$, $\sqrt{x^{2} + 6x} = x\sqrt{1 + \dfrac{6}{x}}$.

3. Dividimos arriba y abajo por $x$. $f(x) = \dfrac{6}{\sqrt{1 + \dfrac{6}{x}} + 1}$.

4. Pasamos al límite. $\dfrac{6}{x} \to 0$, así que la raíz tiende a $1$ y el límite es $\dfrac{6}{1 + 1} = 3$.

Respuesta: $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 3$

d)

1. Leemos el límite como una recta. El límite en $+\infty$ existe y es finito, y vale $3$, así que $y = 3$ es asíntota horizontal.

2. Aclaramos el lado. Como $f$ se estudia para $x > 0$, la asíntota es solo hacia $+\infty$.

3. Interpretamos. Para valores grandes de $x$ la curva $\sqrt{x^{2} + 6x} - x$ se aplasta contra la recta $y = 3$: la raíz se parece cada vez más a $x + 3$.

Respuesta: $y = 3$, solo hacia $+\infty$

1. Elegimos la rama. Como $1 < 3$, en $x = 1$ rige $\dfrac{12}{x - 1}$.

2. Reemplazamos. El numerador vale $12$ y el denominador $1 - 1 = 0$.

3. Nombramos el caso. Es un número distinto de cero sobre cero: no hay indeterminación, la función se dispara. Falta el signo, que sale de los laterales.

Respuesta: el numerador vale $12$ y el denominador $0$: la función se dispara al infinito

b)

1. Lateral derecho. Para $x \to 1^{+}$ el denominador $x - 1$ es positivo y chiquito y el numerador vale $12$, así que $\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty$.

2. Lateral izquierdo. Para $x \to 1^{-}$ el denominador es negativo y chiquito, así que $\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty$.

3. Decidimos. Los dos laterales no coinciden y ninguno es un número, así que el límite no existe.

4. Decimos de qué forma falla. De las tres formas posibles es la segunda: se dispara al infinito. No es salto, porque en un salto los dos laterales son finitos.

Respuesta: no existe: $+\infty$ por derecha y $-\infty$ por izquierda, o sea que se dispara

c)

1. Ubicamos el punto de empalme. La fórmula cambia en $x = 3$, y ese es el único punto donde puede fallar la continuidad de este lado: la rama izquierda solo tenía problema en $x = 1$, que ya estudiamos.

2. Lateral izquierdo. Con la primera rama: $\dfrac{12}{3 - 1} = \dfrac{12}{2} = 6$.

3. Lateral derecho y valor de la función. La condición $x \geq 3$ incluye al punto, así que $f(3) = n - 9$.

4. Igualamos y despejamos. $n - 9 = 6$, así que $n = 15$.

Respuesta: $n = 15$

d)

1. Verificamos la continuidad. En $[3, 5]$ rige $15 - x^{2}$, que es un polinomio y por lo tanto continuo; y en el borde $x = 3$ la elección de $n$ de c) deja las tres condiciones cumplidas.

2. Evaluamos en los extremos. $f(3) = 15 - 9 = 6$ y $f(5) = 15 - 25 = -10$.

3. Miramos los signos. $f(3) \cdot f(5) = 6 \cdot (-10) = -60 < 0$: son opuestos.

4. Aplicamos el teorema. Existe al menos un punto de $(3, 5)$ donde la función vale cero. Resolviendo $15 - x^{2} = 0$ queda $x = \sqrt{15} \approx 3{,}873$, que está en el intervalo.

Respuesta: hay una raíz en $(3, 5)$: $x = \sqrt{15} \approx 3{,}873$

1. Reconocemos la forma. La base $1 + 4x \to 1$ y el exponente $\dfrac{1}{x} \to -\infty$: es la indeterminación $1^{-\infty}$, la misma familia que $1^{\infty}$ pero con el exponente yéndose al menos infinito.

2. Llevamos a la forma conocida. $\left(1 + 4x\right)^{\frac{1}{x}} = \left[\left(1 + 4x\right)^{\frac{1}{4x}}\right]^{4}$, que es $\left(1 + u\right)^{1/u}$ elevado a $4$, con $u = 4x$.

3. Usamos el límite conocido. Cuando $x \to 0^{-}$ también $4x \to 0$, así que el corchete tiende a $e$.

4. Elevamos y aproximamos. El lateral vale $e^{4} \approx 54{,}5982$.

Respuesta: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = e^{4} \approx 54{,}5982$

b)

1. Reconocemos la forma. Arriba $\operatorname{sen}(3x) \to 0$ y abajo $x \to 0$: es cero sobre cero del tipo del seno.

2. Acomodamos. $\dfrac{\operatorname{sen}(3x)}{x} = 3 \cdot \dfrac{\operatorname{sen}(3x)}{3x}$, para que el argumento del seno y el denominador sean lo mismo.

3. Calculamos. El segundo factor tiende a $1$, así que el lateral vale $3$.

Respuesta: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 3$

c)

1. Comparamos los dos laterales. Por izquierda $e^{4} \approx 54{,}5982$ y por derecha $3$.

2. Vemos que son finitos y distintos. Los dos existen y son números, pero no son el mismo número.

3. Concluimos. El límite no existe. De las tres formas posibles esta es la primera: el salto. No se dispara al infinito ni oscila.

Respuesta: no existe: los laterales son finitos y distintos, así que hay salto

d)

1. Miramos qué condición falla. La función está definida en $0$, porque $f(0) = k$, pero por c) el límite no existe: falla la segunda condición.

2. Clasificamos. Los dos laterales existen, son finitos y distintos: la discontinuidad es de salto.

3. Calculamos el tamaño. Es la diferencia entre los laterales: $e^{4} - 3 \approx 51{,}5982$.

4. Decidimos sobre $k$. Ningún valor de $k$ la arregla. Cambiar $f(0)$ mueve el punto de arriba y abajo, pero los dos laterales siguen valiendo $e^{4}$ y $3$, así que el salto queda igual.

Respuesta: de salto, de tamaño $e^{4} - 3 \approx 51{,}5982$; ningún $k$ la evita