Límites laterales

A un punto se le puede llegar de dos lados: desde valores más chicos o desde valores más grandes. Los límites laterales estudian cada aproximación por separado.

El de la izquierda mira qué pasa viniendo desde abajo y el de la derecha desde arriba. Se escriben con un signo chiquito arriba del punto: menos para la izquierda, más para la derecha.

El límite común existe solo si los dos laterales existen y dan lo mismo. Si dan valores distintos, el límite no existe: la función no se decide por un solo número.

Esto es lo que se usa para estudiar funciones definidas por tramos, porque en el punto donde cambia la fórmula cada lado se calcula con una expresión distinta. También aparece con el valor absoluto, que en el fondo es una función por tramos disfrazada.

el límite existe si los dos laterales coinciden

Cuándo se usa

Cuando la función cambia de fórmula en el punto que se estudia, o cuando hay un valor absoluto. También cuando el enunciado da un gráfico con un salto y pregunta si el límite existe ahí.

Ejemplo 1

Calcular los límites laterales en $x = 2$ de la función que vale $x + 1$ si $x < 2$ y $x - 1$ si $x \geq 2$ .

Analizamos el lado izquierdo. Con valores apenas menores que dos rige $x + 1$ .
Calculamos ese lateral. Se acerca a $2 + 1 = 3$ .
Analizamos el derecho. Con valores mayores o iguales rige $x - 1$ , que se acerca a $1$ .
Comparamos. Dan $3$ y $1$ : no coinciden.
Respuesta: los laterales valen $3$ y $1$ , así que el límite no existe

Ejemplo 2

Analizar los laterales en $x = 0$ de $f(x) = |x|/x$ .

Vemos qué pasa con x positivo. Si $x > 0$ entonces $|x| = x$ y la fracción vale $1$ .
Vemos qué pasa con x negativo. Si $x < 0$ entonces $|x| = -x$ y la fracción vale $-1$ .
Escribimos los laterales. Por derecha $1$ , por izquierda $-1$ .
Concluimos. Los dos existen pero no coinciden.
Respuesta: el límite no existe: los laterales valen $1$ y $-1$

Error típico

Contestar que el límite existe porque uno de los dos laterales dio un número. Hacen falta los dos, y además tienen que coincidir.

Practicar

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Otros subtemas de Límites y continuidad

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .