Asíntotas verticales

Una asíntota vertical es una recta a la que la curva se acerca cada vez más sin tocarla nunca, disparándose hacia arriba o hacia abajo.

Aparecen donde el denominador se anula y el numerador no. Ese es el caso de un número sobre cero, y por eso el primer paso siempre es buscar las raíces del denominador.

Pero encontrar una raíz del denominador no alcanza. Si el numerador también se anula ahí, hay que factorizar y simplificar primero: puede que el factor se cancele y en vez de asíntota quede un agujero. Sacar conclusiones sin factorizar es el error más común del tema.

Para describir la asíntota completa hay que calcular los dos límites laterales, porque cada lado puede irse para un lado distinto. Eso es lo que define la forma del gráfico alrededor de la recta.

Una función puede tener muchas asíntotas verticales, tantas como raíces tenga el denominador que no se cancelen.

un lateral

a \pm \infty \to

asíntota vertical en

x = a

Cuándo se usa

Cuando hay una fracción y el ejercicio pide asíntotas o el gráfico. Buscá las raíces del denominador, factorizá para descartar las que se cancelan, y calculá los laterales de las que quedan.

Ejemplo 1

Hallar las asíntotas verticales de $f(x) = (x + 1)/(x - 3)$ .

Buscamos los candidatos. El denominador se anula en $x = 3$ .
Verificamos con el límite. El numerador en $3$ vale $4$ , distinto de cero: es $k/0$ .
Analizamos los lados. Por derecha el denominador es positivo y chico: $+\infty$ . Por izquierda negativo: $-\infty$ .
Concluimos. Se dispara por los dos lados, así que hay asíntota.
Respuesta: hay asíntota vertical en $x = 3$

Ejemplo 2

Decidir si $f(x) = (x^{2} - 1)/(x - 1)$ tiene asíntota en $x = 1$ .

Verificamos que sea candidato. El denominador se anula ahí, así que el $1$ no está en el dominio.
Calculamos el límite. Al reemplazar da $0/0$ : hay que trabajarlo.
Factorizamos y cancelamos. $(x-1)(x+1)/(x-1) = x + 1$ .
Reemplazamos. Da $2$ : el límite existe y es un número.
Respuesta: no hay asíntota: hay un hueco en $(1, 2)$

Error típico

Anotar una asíntota vertical en cada valor excluido del dominio sin verificar. Si el límite da un número, hay hueco y no asíntota.

Practicar

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Otros subtemas de Límites y continuidad

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