Cuándo el límite no existe

Hay tres formas de que un límite no exista, y conviene reconocerlas porque el ejercicio suele pedir justificar cuál es.

La primera es el salto: los dos laterales existen pero dan números distintos. La función se acerca a un valor por izquierda y a otro por derecha, así que no hay un único número al que apunte.

La segunda es que se dispare. Al acercarse al punto los valores crecen sin freno, hacia más infinito o hacia menos infinito. Se escribe que el límite es infinito, pero eso no significa que exista: infinito no es un número, es una forma de describir el comportamiento.

La tercera es la oscilación. La función sube y baja cada vez más rápido cerca del punto, sin estabilizarse en ningún valor. Es el caso menos frecuente pero aparece en ejercicios teóricos.

Fuera de esos tres casos, si la función se acerca ordenadamente a un número, el límite existe.

salto · se dispara al infinito · oscila sin parar

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio pide decidir si el límite existe y justificar. Mirá primero los laterales: si dan distinto es salto. Si alguno se va al infinito, se dispara. Si no pasa ninguna de las dos, el límite existe.

Ejemplo 1

Decidir si existe el límite de $1/x^{2}$ en $x = 0$ .

Analizamos el lado derecho. Con $x$ positivo y chico, $x^{2}$ es un positivo muy chico, así que la fracción es enorme.
Analizamos el izquierdo. Con $x$ negativo, $x^{2}$ sigue siendo positivo: la fracción también es enorme y positiva.
Comparamos. Los dos lados se disparan a más infinito.
Concluimos. No hay ningún número al que se acerque, así que el límite no existe. Se escribe que tiende a $+\infty$ .
Respuesta: no existe: se dispara a $+\infty$ por los dos lados

Ejemplo 2

Decidir si existe el límite de $1/x$ en $x = 0$ .

Analizamos el lado derecho. Con $x$ positivo y chico, la fracción es enorme y positiva.
Analizamos el izquierdo. Con $x$ negativo, la fracción es enorme y negativa.
Comparamos. Uno tiende a $+\infty$ y el otro a $-\infty$ .
Concluimos. Ni siquiera coinciden en el signo. El límite no existe.
Respuesta: no existe: los dos lados se disparan para lados opuestos

Error típico

Decir que el límite vale infinito y darlo por existente. Infinito no es un número: escribir que el límite es infinito es una manera de describir cómo no existe.

Practicar

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Otros subtemas de Límites y continuidad

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