El límite de sen x sobre x

El límite del seno de un número dividido ese mismo número, cuando el número tiende a cero, vale uno. Es una indeterminación de cero sobre cero que no se resuelve factorizando ni racionalizando: es un resultado que hay que conocer.

La idea de por qué da uno es que cerca del cero el seno se parece muchísimo al ángulo. Si el ángulo es chico, su seno vale casi lo mismo, y por eso el cociente se acerca a uno.

Lo importante para usarlo es que el argumento del seno y el denominador tienen que ser exactamente lo mismo. Si el seno tiene adentro el doble de lo que hay abajo, hay que acomodar multiplicando y dividiendo por la constante que falta.

Ese acomodamiento es casi todo el trabajo de los ejercicios del tema. Se arma la fracción que uno quiere y se compensa afuera con lo que haga falta para no cambiar la expresión.

El límite vale solo si el argumento tiende a cero. Si tiende a otro número, la indeterminación no existe y se resuelve reemplazando.

\lim_{x \to 0} \operatorname{sen} x / x = 1

Cuándo se usa

Cuando aparece un seno dividido algo y las dos partes tienden a cero. Fijate si el argumento del seno coincide con el denominador: si no, multiplicá y dividí por la constante que falta para que coincidan.

Ejemplo 1

Calcular el límite de $\operatorname{sen}(5x)/x$ cuando $x$ tiende a cero.

Comparamos lo de adentro con lo de abajo. Adentro hay $5x$ y abajo $x$ : no coinciden.
Multiplicamos y dividimos por $5$ . $\operatorname{sen}(5x)/x = 5 \cdot \operatorname{sen}(5x)/(5x)$
Ahora sí coinciden. La parte $\operatorname{sen}(5x)/(5x)$ tiende a $1$ .
Multiplicamos por la constante. $5 \cdot 1 = 5$
Respuesta: el límite vale $5$

Ejemplo 2

Calcular el límite de $\operatorname{sen}(2x)/\operatorname{sen}(3x)$ cuando $x$ tiende a cero.

Acomodamos arriba. $\operatorname{sen}(2x) = 2x \cdot [\operatorname{sen}(2x)/(2x)]$
Acomodamos abajo. $\operatorname{sen}(3x) = 3x \cdot [\operatorname{sen}(3x)/(3x)]$
Armamos el cociente. Los dos corchetes tienden a $1$ .
Queda el cociente de lo que sobró. $2x/3x = 2/3$
Respuesta: el límite vale $2/3$

Error típico

Aplicarlo cuando lo de adentro no coincide con lo de abajo. En $\operatorname{sen}(3x)/x$ el resultado es $3$ y no $1$ : hay que acomodar primero.

Practicar

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Otros subtemas de Límites y continuidad

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