Un número sobre cero

Cuando al reemplazar el denominador se anula pero el numerador no, el resultado no es una indeterminación: es una asíntota vertical. La función se dispara.

Dividir un número fijo por algo cada vez más chico da resultados cada vez más grandes. Si el denominador se acerca a cero, el cociente se va al infinito. Eso está determinado en tamaño, pero falta el signo.

El signo se resuelve con los laterales, y ahí hay que trabajar. Se estudia con qué signo se acerca a cero el denominador desde cada lado y se combina con el signo del numerador. Si el denominador se acerca por valores positivos el cociente va a más infinito, y si es por negativos va a menos infinito.

Muchas veces los dos laterales dan infinitos de signo contrario, y eso también es información: significa que la curva sube de un lado de la asíntota y baja del otro.

Es importante no confundir este caso con cero sobre cero. Acá el numerador no se anula, así que no hay nada que factorizar ni simplificar: el resultado ya está determinado.

k / 0

con

k \neq 0 \to

se dispara al infinito

Cuándo se usa

Cuando al reemplazar el denominador da cero y el numerador da cualquier otra cosa. No intentes factorizar: hay asíntota vertical. Lo único que queda por hacer es estudiar el signo de cada lateral.

Ejemplo 1

Analizar el límite de $3/(x - 2)$ cuando $x$ tiende a $2$ .

Reemplazamos para ver qué queda. Numerador $3$ , denominador $0$ : es $k/0$ , se dispara.
Analizamos el lado derecho. Con $x$ apenas mayor que $2$ , el denominador es positivo y chico: la fracción es grande y positiva.
Analizamos el izquierdo. Con $x$ apenas menor, el denominador es negativo y chico: la fracción es grande y negativa.
Concluimos. Por derecha tiende a $+\infty$ y por izquierda a $-\infty$ .
Respuesta: se dispara: $+\infty$ por derecha y $-\infty$ por izquierda

Ejemplo 2

Analizar el límite de $5/(x - 3)^{2}$ cuando $x$ tiende a $3$ .

Reemplazamos. Numerador $5$ , denominador $0$ : se dispara.
Analizamos el signo del denominador. Está elevado al cuadrado, así que siempre es positivo, venga de donde venga.
Traducimos. La fracción es siempre positiva y grande, por los dos lados.
Concluimos. Los dos laterales tienden a $+\infty$ .
Respuesta: tiende a $+\infty$ por los dos lados

Error típico

Tratar $k/0$ como indeterminación e intentar factorizar. No hay nada que factorizar: la respuesta ya está, solo falta el signo.

Practicar

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Otros subtemas de Límites y continuidad

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