Ejercicios: Un número sobre cero

k / 0

con

k \neq 0 \to

se dispara al infinito

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Calculá los dos límites laterales de $\dfrac{6}{x - 2}$ en $x = 2$ y describí la asíntota.

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1. Reemplazamos para ver el caso. Arriba queda $6$ y abajo $0$ : es un número sobre cero, así que hay asíntota vertical y no una indeterminación.

2. Estudiamos el signo por derecha. Con $x$ apenas mayor que $2$ , $x - 2$ es positivo y chiquito, así que el cociente es positivo y enorme.

3. Estudiamos el signo por izquierda. Con $x$ apenas menor que $2$ , $x - 2$ es negativo y chiquito en módulo, así que el cociente es negativo y enorme en módulo.

4. Describimos la asíntota. La recta $x = 2$ es asíntota vertical, y la curva baja de un lado y sube del otro.

Respuesta: $\lim_{x \to 2^-} \dfrac{6}{x - 2} = -\infty$ y $\lim_{x \to 2^+} \dfrac{6}{x - 2} = +\infty$

2. Calculá $\lim_{x \to 4} \dfrac{3}{(x - 4)^{2}}$ .

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1. Reemplazamos para ver el caso. Arriba $3$ y abajo $0$ : número sobre cero, así que la función se dispara.

2. Estudiamos el signo del denominador. $(x - 4)^{2}$ es un cuadrado, así que es positivo de los dos lados, nunca negativo.

3. Calculamos los dos laterales. Con numerador positivo y denominador positivo y chiquito, los dos laterales dan $+\infty$ .

4. Concluimos. Como los dos lados coinciden se puede escribir directamente que el límite es $+\infty$ . La diferencia con $\dfrac{1}{x - 4}$ es el exponente par, que borra el cambio de signo.

Respuesta: $+\infty$ por los dos lados

3. Calculá los laterales de $f(x) = \dfrac{x - 1}{(x + 2)(x - 4)}$ en $x = -2$ .

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1. Reemplazamos. El numerador vale $-3$ y el denominador $0$ , porque se anula el primer factor. Es un número sobre cero.

2. Miramos el signo del factor que se anula. $(x + 2)$ es negativo a la izquierda de $-2$ y positivo a la derecha.

3. Miramos el signo del resto. Cerca de $x = -2$ , el numerador vale casi $-3$ y el otro factor casi $-6$ , así que el cociente de esos dos es positivo y no cambia de signo.

4. Combinamos los signos. El signo del resultado lo termina de decidir el factor que se anula, y como cambia de signo al cruzar $-2$ , los dos laterales se van a infinitos opuestos.

Respuesta: $\lim_{x \to -2^-} f(x) = -\infty$ y $\lim_{x \to -2^+} f(x) = +\infty$

4. Para $x \to 3$ , decidí cuál de estos dos límites es una indeterminación y cuál no: $\dfrac{x + 3}{x - 3}$ y $\dfrac{x^{2} - 9}{x - 3}$ .

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1. Reemplazamos en el primero. Arriba da $6$ y abajo $0$ .

2. Clasificamos ese caso. Número sobre cero: no es indeterminación, la función se dispara. No hay nada que factorizar.

3. Reemplazamos en el segundo. Arriba da $9 - 9 = 0$ y abajo también $0$ .

4. Clasificamos y resolvemos. Cero sobre cero sí es indeterminación. Acá se salva factorizando: $\dfrac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = x + 3$ , que en $x = 3$ vale $6$ .

Respuesta: el primero no es indeterminación y se dispara; el segundo sí, y vale $6$

5. Calculá los dos límites laterales de $\dfrac{7}{x - 3}$ en $x = 3$ y describí la asíntota.

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1. Reemplazamos para ver el caso. Arriba queda $7$ y abajo $0$ : es un número sobre cero, así que hay asíntota vertical y no una indeterminación.

2. Estudiamos el signo por derecha. Con $x$ apenas mayor que $3$ , $x - 3$ es positivo y chiquito, así que el cociente es positivo y enorme.

3. Estudiamos el signo por izquierda. Con $x$ apenas menor que $3$ , $x - 3$ es negativo y chiquito en módulo, así que el cociente es negativo y enorme en módulo.

4. Describimos la asíntota. La recta $x = 3$ es asíntota vertical, y la curva baja de un lado y sube del otro.

Respuesta: $\lim_{x \to 3^-} \dfrac{7}{x - 3} = -\infty$ y $\lim_{x \to 3^+} \dfrac{7}{x - 3} = +\infty$

6. Calculá $\lim_{x \to 5} \dfrac{4}{(x - 5)^{2}}$ .

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1. Reemplazamos para ver el caso. Arriba $4$ y abajo $0$ : número sobre cero, así que la función se dispara.

2. Estudiamos el signo del denominador. $(x - 5)^{2}$ es un cuadrado, así que es positivo de los dos lados, nunca negativo.

3. Calculamos los dos laterales. Con numerador positivo y denominador positivo y chiquito, los dos laterales dan $+\infty$ .

4. Concluimos. Como los dos lados coinciden se puede escribir directamente que el límite es $+\infty$ . La diferencia con $\dfrac{1}{x - 5}$ es el exponente par, que borra el cambio de signo.

Respuesta: $+\infty$ por los dos lados

7. Calculá los laterales de $f(x) = \dfrac{x - 6}{(x - 3)(x - 9)}$ en $x = 3$ .

Ver solución

1. Reemplazamos. El numerador vale $-3$ y el denominador $0$ , porque se anula el primer factor. Es un número sobre cero.

2. Miramos el signo del factor que se anula. $(x - 3)$ es negativo a la izquierda de $3$ y positivo a la derecha.

3. Miramos el signo del resto. Cerca de $x = 3$ , el numerador vale casi $-3$ y el otro factor casi $-6$ , así que el cociente de esos dos es positivo y no cambia de signo.

4. Combinamos los signos. El signo del resultado lo termina de decidir el factor que se anula, y como cambia de signo al cruzar $3$ , los dos laterales se van a infinitos opuestos.

Respuesta: $\lim_{x \to 3^-} f(x) = -\infty$ y $\lim_{x \to 3^+} f(x) = +\infty$

8. Para $x \to 4$ , decidí cuál de estos dos límites es una indeterminación y cuál no: $\dfrac{x + 4}{x - 4}$ y $\dfrac{x^{2} - 16}{x - 4}$ .

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1. Reemplazamos en el primero. Arriba da $8$ y abajo $0$ .

2. Clasificamos ese caso. Número sobre cero: no es indeterminación, la función se dispara. No hay nada que factorizar.

3. Reemplazamos en el segundo. Arriba da $16 - 16 = 0$ y abajo también $0$ .

4. Clasificamos y resolvemos. Cero sobre cero sí es indeterminación. Acá se salva factorizando: $\dfrac{(x - 4)(x + 4)}{x - 4} = x + 4$ , que en $x = 4$ vale $8$ .

Respuesta: el primero no es indeterminación y se dispara; el segundo sí, y vale $8$

9. Calculá los dos límites laterales de $\dfrac{2}{x - 4}$ en $x = 4$ y describí la asíntota.

Ver solución

1. Reemplazamos para ver el caso. Arriba queda $2$ y abajo $0$ : es un número sobre cero, así que hay asíntota vertical y no una indeterminación.

2. Estudiamos el signo por derecha. Con $x$ apenas mayor que $4$ , $x - 4$ es positivo y chiquito, así que el cociente es positivo y enorme.

3. Estudiamos el signo por izquierda. Con $x$ apenas menor que $4$ , $x - 4$ es negativo y chiquito en módulo, así que el cociente es negativo y enorme en módulo.

4. Describimos la asíntota. La recta $x = 4$ es asíntota vertical, y la curva baja de un lado y sube del otro.

Respuesta: $\lim_{x \to 4^-} \dfrac{2}{x - 4} = -\infty$ y $\lim_{x \to 4^+} \dfrac{2}{x - 4} = +\infty$

10. Calculá $\lim_{x \to 2} \dfrac{5}{(x - 2)^{2}}$ .

Ver solución

1. Reemplazamos para ver el caso. Arriba $5$ y abajo $0$ : número sobre cero, así que la función se dispara.

2. Estudiamos el signo del denominador. $(x - 2)^{2}$ es un cuadrado, así que es positivo de los dos lados, nunca negativo.

3. Calculamos los dos laterales. Con numerador positivo y denominador positivo y chiquito, los dos laterales dan $+\infty$ .

4. Concluimos. Como los dos lados coinciden se puede escribir directamente que el límite es $+\infty$ . La diferencia con $\dfrac{1}{x - 2}$ es el exponente par, que borra el cambio de signo.

Respuesta: $+\infty$ por los dos lados

11. Calculá los laterales de $f(x) = \dfrac{x - 5}{(x - 2)(x - 8)}$ en $x = 2$ .

Ver solución

1. Reemplazamos. El numerador vale $-3$ y el denominador $0$ , porque se anula el primer factor. Es un número sobre cero.

2. Miramos el signo del factor que se anula. $(x - 2)$ es negativo a la izquierda de $2$ y positivo a la derecha.

3. Miramos el signo del resto. Cerca de $x = 2$ , el numerador vale casi $-3$ y el otro factor casi $-6$ , así que el cociente de esos dos es positivo y no cambia de signo.

4. Combinamos los signos. El signo del resultado lo termina de decidir el factor que se anula, y como cambia de signo al cruzar $2$ , los dos laterales se van a infinitos opuestos.

Respuesta: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty$ y $\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty$

12. Para $x \to 7$ , decidí cuál de estos dos límites es una indeterminación y cuál no: $\dfrac{x + 7}{x - 7}$ y $\dfrac{x^{2} - 49}{x - 7}$ .

Ver solución

1. Reemplazamos en el primero. Arriba da $14$ y abajo $0$ .

2. Clasificamos ese caso. Número sobre cero: no es indeterminación, la función se dispara. No hay nada que factorizar.

3. Reemplazamos en el segundo. Arriba da $49 - 49 = 0$ y abajo también $0$ .

4. Clasificamos y resolvemos. Cero sobre cero sí es indeterminación. Acá se salva factorizando: $\dfrac{(x - 7)(x + 7)}{x - 7} = x + 7$ , que en $x = 7$ vale $14$ .

Respuesta: el primero no es indeterminación y se dispara; el segundo sí, y vale $14$

Integradores de Límites y continuidad: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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