Método

Ejercicios: Propiedades y cálculo directo

si f es continua, el límite se calcula reemplazando

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Sabiendo que lim⁡x→4f(x)=8\lim_{x \to 4} f(x) = 8 y lim⁡x→4g(x)=2\lim_{x \to 4} g(x) = 2, calculá lim⁡x→4(f(x)+g(x))\lim_{x \to 4} (f(x) + g(x)), lim⁡x→4f(x)g(x)\lim_{x \to 4} f(x)g(x) y lim⁡x→4f(x)g(x)\lim_{x \to 4} \dfrac{f(x)}{g(x)}.

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1. Aplicamos la propiedad de la suma. El límite de una suma es la suma de los límites: 8+2=108 + 2 = 10.

2. Aplicamos la del producto. El límite de un producto es el producto de los límites: 8⋅2=168 \cdot 2 = 16.

3. Chequeamos la condición del cociente. La propiedad del cociente pide que el límite del denominador no sea cero. Acá vale 22, así que se puede aplicar.

4. Calculamos el cociente. 82=4\dfrac{8}{2} = 4. Si el denominador hubiera tendido a cero, la propiedad no serviría y habría que trabajar la expresión.

Respuesta: 1010, 1616 y 44

2. Calculá lim⁡x→05x2+4\lim_{x \to 0} \sqrt{5 x^{2} + 4}.

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1. Separamos la función en partes conocidas. Es una raíz aplicada a un polinomio, y las dos son funciones continuas donde están definidas.

2. Calculamos el límite de adentro. lim⁡x→0(5x2+4)=5(0)2+4=4\lim_{x \to 0} \left(5 x^{2} + 4\right) = 5 (0)^{2} + 4 = 4

3. Chequeamos que se pueda aplicar la raíz. 44 es positivo, así que la raíz existe ahí y el límite pasa para adentro.

4. Terminamos. 4=2\sqrt{4} = 2

Respuesta: lim⁡x→05x2+4=2\lim_{x \to 0} \sqrt{5 x^{2} + 4} = 2

3. Explicá por qué no se puede usar la propiedad del cociente para calcular lim⁡x→1x+6x−1\lim_{x \to 1} \dfrac{x + 6}{x - 1}, y decidí qué pasa con el límite.

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1. Escribimos la propiedad y su condición. El límite de un cociente es el cociente de los límites, siempre que el límite del denominador no sea cero.

2. Calculamos los dos límites por separado. Arriba da 77 y abajo da 00.

3. Vemos por qué falla. Con denominador tendiendo a cero la propiedad no se aplica, así que no se puede escribir el cociente de los límites.

4. Analizamos qué pasa realmente. Es un número distinto de cero sobre cero, así que la función se dispara: hay asíntota vertical en x=1x = 1 y el límite no existe.

Respuesta: la propiedad no se aplica porque el denominador tiende a cero; el límite no existe

4. Calculá lim⁡x→3(2x+1)2\lim_{x \to 3} (2 x + 1)^{2} usando propiedades.

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1. Reconocemos la operación. Es una potencia de exponente natural, o sea un producto de 22 factores iguales.

2. Aplicamos la propiedad del producto. El límite de un producto es el producto de los límites, así que el límite de la potencia es la potencia del límite.

3. Calculamos el límite de la base. lim⁡x→3(2x+1)=2(3)+1=7\lim_{x \to 3} \left(2 x + 1\right) = 2 (3) + 1 = 7

4. Elevamos. 72=497^{2} = 49

Respuesta: lim⁡x→3(2x+1)2=49\lim_{x \to 3} (2 x + 1)^{2} = 49

5. Sabiendo que lim⁡x→3f(x)=5\lim_{x \to 3} f(x) = 5 y lim⁡x→3g(x)=4\lim_{x \to 3} g(x) = 4, calculá lim⁡x→3(f(x)+g(x))\lim_{x \to 3} (f(x) + g(x)), lim⁡x→3f(x)g(x)\lim_{x \to 3} f(x)g(x) y lim⁡x→3f(x)g(x)\lim_{x \to 3} \dfrac{f(x)}{g(x)}.

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1. Aplicamos la propiedad de la suma. El límite de una suma es la suma de los límites: 5+4=95 + 4 = 9.

2. Aplicamos la del producto. El límite de un producto es el producto de los límites: 5⋅4=205 \cdot 4 = 20.

3. Chequeamos la condición del cociente. La propiedad del cociente pide que el límite del denominador no sea cero. Acá vale 44, así que se puede aplicar.

4. Calculamos el cociente. 54\dfrac{5}{4}. Si el denominador hubiera tendido a cero, la propiedad no serviría y habría que trabajar la expresión.

Respuesta: 99, 2020 y 54\dfrac{5}{4}

6. Calculá lim⁡x→3x2+8\lim_{x \to 3} \sqrt{x^{2} + 8}.

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1. Separamos la función en partes conocidas. Es una raíz aplicada a un polinomio, y las dos son funciones continuas donde están definidas.

2. Calculamos el límite de adentro. lim⁡x→3(x2+8)=(3)2+8=17\lim_{x \to 3} \left(x^{2} + 8\right) = (3)^{2} + 8 = 17

3. Chequeamos que se pueda aplicar la raíz. 1717 es positivo, así que la raíz existe ahí y el límite pasa para adentro.

4. Terminamos. 17\sqrt{17} no es exacta, así que se deja expresada: 17≈4,1231\sqrt{17} \approx 4{,}1231

Respuesta: lim⁡x→3x2+8=17\lim_{x \to 3} \sqrt{x^{2} + 8} = \sqrt{17}

7. Explicá por qué no se puede usar la propiedad del cociente para calcular lim⁡x→4x+2x−4\lim_{x \to 4} \dfrac{x + 2}{x - 4}, y decidí qué pasa con el límite.

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1. Escribimos la propiedad y su condición. El límite de un cociente es el cociente de los límites, siempre que el límite del denominador no sea cero.

2. Calculamos los dos límites por separado. Arriba da 66 y abajo da 00.

3. Vemos por qué falla. Con denominador tendiendo a cero la propiedad no se aplica, así que no se puede escribir el cociente de los límites.

4. Analizamos qué pasa realmente. Es un número distinto de cero sobre cero, así que la función se dispara: hay asíntota vertical en x=4x = 4 y el límite no existe.

Respuesta: la propiedad no se aplica porque el denominador tiende a cero; el límite no existe

8. Calculá lim⁡x→1(2x+5)4\lim_{x \to 1} (2 x + 5)^{4} usando propiedades.

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1. Reconocemos la operación. Es una potencia de exponente natural, o sea un producto de 44 factores iguales.

2. Aplicamos la propiedad del producto. El límite de un producto es el producto de los límites, así que el límite de la potencia es la potencia del límite.

3. Calculamos el límite de la base. lim⁡x→1(2x+5)=2(1)+5=7\lim_{x \to 1} \left(2 x + 5\right) = 2 (1) + 5 = 7

4. Elevamos. 74=24017^{4} = 2401

Respuesta: lim⁡x→1(2x+5)4=2401\lim_{x \to 1} (2 x + 5)^{4} = 2401

9. Sabiendo que lim⁡x→2f(x)=3\lim_{x \to 2} f(x) = 3 y lim⁡x→2g(x)=5\lim_{x \to 2} g(x) = 5, calculá lim⁡x→2(f(x)+g(x))\lim_{x \to 2} (f(x) + g(x)), lim⁡x→2f(x)g(x)\lim_{x \to 2} f(x)g(x) y lim⁡x→2f(x)g(x)\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x)}{g(x)}.

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1. Aplicamos la propiedad de la suma. El límite de una suma es la suma de los límites: 3+5=83 + 5 = 8.

2. Aplicamos la del producto. El límite de un producto es el producto de los límites: 3⋅5=153 \cdot 5 = 15.

3. Chequeamos la condición del cociente. La propiedad del cociente pide que el límite del denominador no sea cero. Acá vale 55, así que se puede aplicar.

4. Calculamos el cociente. 35\dfrac{3}{5}. Si el denominador hubiera tendido a cero, la propiedad no serviría y habría que trabajar la expresión.

Respuesta: 88, 1515 y 35\dfrac{3}{5}

10. Calculá lim⁡x→23x2+1\lim_{x \to 2} \sqrt{3 x^{2} + 1}.

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1. Separamos la función en partes conocidas. Es una raíz aplicada a un polinomio, y las dos son funciones continuas donde están definidas.

2. Calculamos el límite de adentro. lim⁡x→2(3x2+1)=3(2)2+1=13\lim_{x \to 2} \left(3 x^{2} + 1\right) = 3 (2)^{2} + 1 = 13

3. Chequeamos que se pueda aplicar la raíz. 1313 es positivo, así que la raíz existe ahí y el límite pasa para adentro.

4. Terminamos. 13\sqrt{13} no es exacta, así que se deja expresada: 13≈3,6056\sqrt{13} \approx 3{,}6056

Respuesta: lim⁡x→23x2+1=13\lim_{x \to 2} \sqrt{3 x^{2} + 1} = \sqrt{13}

11. Explicá por qué no se puede usar la propiedad del cociente para calcular lim⁡x→2x+3x−2\lim_{x \to 2} \dfrac{x + 3}{x - 2}, y decidí qué pasa con el límite.

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1. Escribimos la propiedad y su condición. El límite de un cociente es el cociente de los límites, siempre que el límite del denominador no sea cero.

2. Calculamos los dos límites por separado. Arriba da 55 y abajo da 00.

3. Vemos por qué falla. Con denominador tendiendo a cero la propiedad no se aplica, así que no se puede escribir el cociente de los límites.

4. Analizamos qué pasa realmente. Es un número distinto de cero sobre cero, así que la función se dispara: hay asíntota vertical en x=2x = 2 y el límite no existe.

Respuesta: la propiedad no se aplica porque el denominador tiende a cero; el límite no existe

12. Calculá lim⁡x→1(3x+2)3\lim_{x \to 1} (3 x + 2)^{3} usando propiedades.

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1. Reconocemos la operación. Es una potencia de exponente natural, o sea un producto de 33 factores iguales.

2. Aplicamos la propiedad del producto. El límite de un producto es el producto de los límites, así que el límite de la potencia es la potencia del límite.

3. Calculamos el límite de la base. lim⁡x→1(3x+2)=3(1)+2=5\lim_{x \to 1} \left(3 x + 2\right) = 3 (1) + 2 = 5

4. Elevamos. 53=1255^{3} = 125

Respuesta: lim⁡x→1(3x+2)3=125\lim_{x \to 1} (3 x + 2)^{3} = 125

Integradores de Límites y continuidad: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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