Ejercicios: Cuándo el límite no existe

salto · se dispara al infinito · oscila sin parar

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Sea $f(x) = x + 1$ si $x < 4$ y $f(x) = x + 6$ si $x \geq 4$ . Decidí si $\lim_{x \to 4} f(x)$ existe y justificá de qué caso se trata.

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1. Calculamos el lateral izquierdo. $\lim_{x \to 4^-} \left(x + 1\right) = 5$

2. Calculamos el lateral derecho. $\lim_{x \to 4^+} \left(x + 6\right) = 10$

3. Comparamos. Los dos existen y son finitos, pero dan $5$ y $10$ : distintos.

4. Clasificamos. Es el caso de salto: la función apunta a un valor por izquierda y a otro por derecha, así que no hay un único número al que se acerque.

Respuesta: no existe: hay un salto de $5$ en $x = 4$

2. Decidí si $\lim_{x \to 5} \dfrac{1}{x - 5}$ existe y justificá de qué caso se trata.

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1. Probamos el reemplazo. El numerador vale $1$ y el denominador $0$ : es un número sobre cero, así que la función se dispara.

2. Estudiamos el lateral derecho. Con $x$ apenas mayor que $5$ , el denominador es positivo y muy chico, así que el cociente va a $+\infty$ .

3. Estudiamos el lateral izquierdo. Con $x$ apenas menor que $5$ , el denominador es negativo y muy chico en módulo, así que el cociente va a $-\infty$ .

4. Clasificamos. Es el caso de disparo. Escribir que el límite es infinito describe el comportamiento, pero no significa que el límite exista: infinito no es un número.

Respuesta: no existe: se dispara a $-\infty$ por izquierda y a $+\infty$ por derecha

3. Decidí si $\lim_{x \to 0} \operatorname{sen}\left(\dfrac{5}{x}\right)$ existe.

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1. Miramos qué le pasa al argumento. Cuando $x$ se acerca a cero, $\dfrac{5}{x}$ se hace enorme en módulo.

2. Recordamos cómo se comporta el seno ahí. El seno de un argumento que crece sin freno no se estabiliza: sigue subiendo y bajando entre $-1$ y $1$ .

3. Buscamos dos sucesiones que lo muestren. Tomando $x = \dfrac{5}{2k\pi}$ la función vale siempre $0$ , y tomando $x = \dfrac{5}{\frac{\pi}{2} + 2k\pi}$ vale siempre $1$ , con $x$ tan cerca de cero como se quiera en los dos casos.

4. Clasificamos. Es el caso de oscilación: la función no se acerca a ningún número ni se dispara.

Respuesta: no existe: la función oscila entre $-1$ y $1$ cerca del cero

4. Decidí si $\lim_{x \to +\infty} \cos(6x)$ existe.

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1. Miramos el argumento. Cuando $x$ crece, $6x$ también crece sin freno.

2. Recordamos la periodicidad. El coseno se repite cada $2\pi$ , así que por más lejos que se vaya sigue recorriendo todos los valores entre $-1$ y $1$ .

3. Mostramos que no se estabiliza. En $x = \dfrac{2k\pi}{6}$ vale $1$ y en $x = \dfrac{(2k+1)\pi}{6}$ vale $-1$ , con $k$ tan grande como se quiera.

4. Concluimos. No se acerca a ningún número ni se dispara: es oscilación, pero en el infinito.

Respuesta: no existe: el coseno sigue oscilando cuando $x$ crece

5. Sea $f(x) = x + 4$ si $x < -1$ y $f(x) = x + 2$ si $x \geq -1$ . Decidí si $\lim_{x \to -1} f(x)$ existe y justificá de qué caso se trata.

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1. Calculamos el lateral izquierdo. $\lim_{x \to -1^-} \left(x + 4\right) = 3$

2. Calculamos el lateral derecho. $\lim_{x \to -1^+} \left(x + 2\right) = 1$

3. Comparamos. Los dos existen y son finitos, pero dan $3$ y $1$ : distintos.

4. Clasificamos. Es el caso de salto: la función apunta a un valor por izquierda y a otro por derecha, así que no hay un único número al que se acerque.

Respuesta: no existe: hay un salto de $2$ en $x = -1$

6. Decidí si $\lim_{x \to 6} \dfrac{1}{x - 6}$ existe y justificá de qué caso se trata.

Ver solución

1. Probamos el reemplazo. El numerador vale $1$ y el denominador $0$ : es un número sobre cero, así que la función se dispara.

2. Estudiamos el lateral derecho. Con $x$ apenas mayor que $6$ , el denominador es positivo y muy chico, así que el cociente va a $+\infty$ .

3. Estudiamos el lateral izquierdo. Con $x$ apenas menor que $6$ , el denominador es negativo y muy chico en módulo, así que el cociente va a $-\infty$ .

4. Clasificamos. Es el caso de disparo. Escribir que el límite es infinito describe el comportamiento, pero no significa que el límite exista: infinito no es un número.

Respuesta: no existe: se dispara a $-\infty$ por izquierda y a $+\infty$ por derecha

7. Decidí si $\lim_{x \to 0} \operatorname{sen}\left(\dfrac{1}{x}\right)$ existe.

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1. Miramos qué le pasa al argumento. Cuando $x$ se acerca a cero, $\dfrac{1}{x}$ se hace enorme en módulo.

2. Recordamos cómo se comporta el seno ahí. El seno de un argumento que crece sin freno no se estabiliza: sigue subiendo y bajando entre $-1$ y $1$ .

3. Buscamos dos sucesiones que lo muestren. Tomando $x = \dfrac{1}{2k\pi}$ la función vale siempre $0$ , y tomando $x = \dfrac{1}{\frac{\pi}{2} + 2k\pi}$ vale siempre $1$ , con $x$ tan cerca de cero como se quiera en los dos casos.

4. Clasificamos. Es el caso de oscilación: la función no se acerca a ningún número ni se dispara.

Respuesta: no existe: la función oscila entre $-1$ y $1$ cerca del cero

8. Decidí si $\lim_{x \to +\infty} \cos(5x)$ existe.

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1. Miramos el argumento. Cuando $x$ crece, $5x$ también crece sin freno.

2. Recordamos la periodicidad. El coseno se repite cada $2\pi$ , así que por más lejos que se vaya sigue recorriendo todos los valores entre $-1$ y $1$ .

3. Mostramos que no se estabiliza. En $x = \dfrac{2k\pi}{5}$ vale $1$ y en $x = \dfrac{(2k+1)\pi}{5}$ vale $-1$ , con $k$ tan grande como se quiera.

4. Concluimos. No se acerca a ningún número ni se dispara: es oscilación, pero en el infinito.

Respuesta: no existe: el coseno sigue oscilando cuando $x$ crece

9. Sea $f(x) = x + 2$ si $x < 3$ y $f(x) = x + 9$ si $x \geq 3$ . Decidí si $\lim_{x \to 3} f(x)$ existe y justificá de qué caso se trata.

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1. Calculamos el lateral izquierdo. $\lim_{x \to 3^-} \left(x + 2\right) = 5$

2. Calculamos el lateral derecho. $\lim_{x \to 3^+} \left(x + 9\right) = 12$

3. Comparamos. Los dos existen y son finitos, pero dan $5$ y $12$ : distintos.

4. Clasificamos. Es el caso de salto: la función apunta a un valor por izquierda y a otro por derecha, así que no hay un único número al que se acerque.

Respuesta: no existe: hay un salto de $7$ en $x = 3$

10. Decidí si $\lim_{x \to 4} \dfrac{1}{x - 4}$ existe y justificá de qué caso se trata.

Ver solución

1. Probamos el reemplazo. El numerador vale $1$ y el denominador $0$ : es un número sobre cero, así que la función se dispara.

2. Estudiamos el lateral derecho. Con $x$ apenas mayor que $4$ , el denominador es positivo y muy chico, así que el cociente va a $+\infty$ .

3. Estudiamos el lateral izquierdo. Con $x$ apenas menor que $4$ , el denominador es negativo y muy chico en módulo, así que el cociente va a $-\infty$ .

4. Clasificamos. Es el caso de disparo. Escribir que el límite es infinito describe el comportamiento, pero no significa que el límite exista: infinito no es un número.

Respuesta: no existe: se dispara a $-\infty$ por izquierda y a $+\infty$ por derecha

11. Decidí si $\lim_{x \to 0} \operatorname{sen}\left(\dfrac{2}{x}\right)$ existe.

Ver solución

1. Miramos qué le pasa al argumento. Cuando $x$ se acerca a cero, $\dfrac{2}{x}$ se hace enorme en módulo.

2. Recordamos cómo se comporta el seno ahí. El seno de un argumento que crece sin freno no se estabiliza: sigue subiendo y bajando entre $-1$ y $1$ .

3. Buscamos dos sucesiones que lo muestren. Tomando $x = \dfrac{2}{2k\pi}$ la función vale siempre $0$ , y tomando $x = \dfrac{2}{\frac{\pi}{2} + 2k\pi}$ vale siempre $1$ , con $x$ tan cerca de cero como se quiera en los dos casos.

4. Clasificamos. Es el caso de oscilación: la función no se acerca a ningún número ni se dispara.

Respuesta: no existe: la función oscila entre $-1$ y $1$ cerca del cero

12. Decidí si $\lim_{x \to +\infty} \cos(3x)$ existe.

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1. Miramos el argumento. Cuando $x$ crece, $3x$ también crece sin freno.

2. Recordamos la periodicidad. El coseno se repite cada $2\pi$ , así que por más lejos que se vaya sigue recorriendo todos los valores entre $-1$ y $1$ .

3. Mostramos que no se estabiliza. En $x = \dfrac{2k\pi}{3}$ vale $1$ y en $x = \dfrac{(2k+1)\pi}{3}$ vale $-1$ , con $k$ tan grande como se quiera.

4. Concluimos. No se acerca a ningún número ni se dispara: es oscilación, pero en el infinito.

Respuesta: no existe: el coseno sigue oscilando cuando $x$ crece

Integradores de Límites y continuidad: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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