Ejercicios: Límites laterales

el límite existe si los dos laterales coinciden

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Sea $f(x) = 3 x$ si $x < 2$ y $f(x) = x + 1$ si $x \geq 2$ . Calculá los dos límites laterales en $x = 2$ y decidí si el límite existe.

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1. Elegimos la fórmula para el lado izquierdo. Viniendo desde valores menores que $2$ rige $3 x$ .

2. Calculamos el lateral izquierdo. $\lim_{x \to 2^-} 3 x = 6$

3. Calculamos el lateral derecho con la otra fórmula. $\lim_{x \to 2^+} \left(x + 1\right) = 3$

4. Comparamos. Dan $6$ y $3$ , que son distintos, así que el límite no existe: hay un salto de $3$ .

Respuesta: laterales $6$ y $3$ : el límite no existe

2. Calculá los límites laterales de $f(x) = \dfrac{|x - 5|}{x - 5}$ en $x = 5$ .

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1. Sacamos el valor absoluto por tramos. Si $x > 5$ , entonces $x - 5$ es positivo y $|x - 5| = x - 5$ . Si $x < 5$ , es negativo y $|x - 5| = -(x - 5)$ .

2. Calculamos el lateral derecho. La fracción vale $\dfrac{x - 5}{x - 5} = 1$ , así que el límite es $1$ .

3. Calculamos el lateral izquierdo. Ahora la fracción vale $\dfrac{-(x - 5)}{x - 5} = -1$ , así que el límite es $-1$ .

4. Concluimos. Los laterales dan $-1$ y $1$ : distintos, así que el límite en $x = 5$ no existe. El valor absoluto es una función por tramos disfrazada.

Respuesta: por izquierda $-1$ y por derecha $1$ : el límite no existe

3. De una función se sabe que $\lim_{x \to -2^-} f(x) = 3$ , $\lim_{x \to -2^+} f(x) = 3$ y $f(-2) = 6$ . Decidí si el límite existe y cuánto vale.

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1. Recordamos la condición. El límite existe cuando los dos laterales existen y dan el mismo número.

2. Comparamos los laterales. Los dos valen $3$ , así que la condición se cumple.

3. Escribimos el límite. $\lim_{x \to -2} f(x) = 3$

4. Miramos el valor de la función. $f(-2) = 6$ , que no coincide con el límite. Eso no impide que el límite exista: el límite no mira el valor en el punto.

Respuesta: existe y vale $3$ , aunque $f(-2) = 6$

4. Decidí si existe $\lim_{x \to 6} \sqrt{x - 6}$ , estudiando los dos lados.

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1. Buscamos el dominio de la función. La raíz de índice par pide $x - 6 \geq 0$ , o sea $x \geq 6$ .

2. Miramos el lado izquierdo. Para acercarse a $6$ por izquierda haría falta evaluar en valores menores que $6$ , donde la función no existe. El lateral izquierdo no se puede calcular.

3. Calculamos el lateral derecho. $\lim_{x \to 6^+} \sqrt{x - 6} = 0$ , porque el radicando tiende a cero.

4. Concluimos. El límite común no existe, porque hace falta que existan los dos lados. Lo que sí existe es el límite lateral por derecha, y vale $0$ .

Respuesta: el límite común no existe; el lateral derecho vale $0$

5. Sea $f(x) = 6 x$ si $x < 2$ y $f(x) = x + 3$ si $x \geq 2$ . Calculá los dos límites laterales en $x = 2$ y decidí si el límite existe.

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1. Elegimos la fórmula para el lado izquierdo. Viniendo desde valores menores que $2$ rige $6 x$ .

2. Calculamos el lateral izquierdo. $\lim_{x \to 2^-} 6 x = 12$

3. Calculamos el lateral derecho con la otra fórmula. $\lim_{x \to 2^+} \left(x + 3\right) = 5$

4. Comparamos. Dan $12$ y $5$ , que son distintos, así que el límite no existe: hay un salto de $7$ .

Respuesta: laterales $12$ y $5$ : el límite no existe

6. Calculá los límites laterales de $f(x) = \dfrac{|x - 4|}{x - 4}$ en $x = 4$ .

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1. Sacamos el valor absoluto por tramos. Si $x > 4$ , entonces $x - 4$ es positivo y $|x - 4| = x - 4$ . Si $x < 4$ , es negativo y $|x - 4| = -(x - 4)$ .

2. Calculamos el lateral derecho. La fracción vale $\dfrac{x - 4}{x - 4} = 1$ , así que el límite es $1$ .

3. Calculamos el lateral izquierdo. Ahora la fracción vale $\dfrac{-(x - 4)}{x - 4} = -1$ , así que el límite es $-1$ .

4. Concluimos. Los laterales dan $-1$ y $1$ : distintos, así que el límite en $x = 4$ no existe. El valor absoluto es una función por tramos disfrazada.

Respuesta: por izquierda $-1$ y por derecha $1$ : el límite no existe

7. De una función se sabe que $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 5$ , $\lim_{x \to 2^+} f(x) = 5$ y $f(2) = 8$ . Decidí si el límite existe y cuánto vale.

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1. Recordamos la condición. El límite existe cuando los dos laterales existen y dan el mismo número.

2. Comparamos los laterales. Los dos valen $5$ , así que la condición se cumple.

3. Escribimos el límite. $\lim_{x \to 2} f(x) = 5$

4. Miramos el valor de la función. $f(2) = 8$ , que no coincide con el límite. Eso no impide que el límite exista: el límite no mira el valor en el punto.

Respuesta: existe y vale $5$ , aunque $f(2) = 8$

8. Decidí si existe $\lim_{x \to 3} \sqrt{x - 3}$ , estudiando los dos lados.

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1. Buscamos el dominio de la función. La raíz de índice par pide $x - 3 \geq 0$ , o sea $x \geq 3$ .

2. Miramos el lado izquierdo. Para acercarse a $3$ por izquierda haría falta evaluar en valores menores que $3$ , donde la función no existe. El lateral izquierdo no se puede calcular.

3. Calculamos el lateral derecho. $\lim_{x \to 3^+} \sqrt{x - 3} = 0$ , porque el radicando tiende a cero.

4. Concluimos. El límite común no existe, porque hace falta que existan los dos lados. Lo que sí existe es el límite lateral por derecha, y vale $0$ .

Respuesta: el límite común no existe; el lateral derecho vale $0$

9. Sea $f(x) = 5 x$ si $x < -1$ y $f(x) = x + 2$ si $x \geq -1$ . Calculá los dos límites laterales en $x = -1$ y decidí si el límite existe.

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1. Elegimos la fórmula para el lado izquierdo. Viniendo desde valores menores que $-1$ rige $5 x$ .

2. Calculamos el lateral izquierdo. $\lim_{x \to -1^-} 5 x = -5$

3. Calculamos el lateral derecho con la otra fórmula. $\lim_{x \to -1^+} \left(x + 2\right) = 1$

4. Comparamos. Dan $-5$ y $1$ , que son distintos, así que el límite no existe: hay un salto de $6$ .

Respuesta: laterales $-5$ y $1$ : el límite no existe

10. Calculá los límites laterales de $f(x) = \dfrac{|x - 7|}{x - 7}$ en $x = 7$ .

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1. Sacamos el valor absoluto por tramos. Si $x > 7$ , entonces $x - 7$ es positivo y $|x - 7| = x - 7$ . Si $x < 7$ , es negativo y $|x - 7| = -(x - 7)$ .

2. Calculamos el lateral derecho. La fracción vale $\dfrac{x - 7}{x - 7} = 1$ , así que el límite es $1$ .

3. Calculamos el lateral izquierdo. Ahora la fracción vale $\dfrac{-(x - 7)}{x - 7} = -1$ , así que el límite es $-1$ .

4. Concluimos. Los laterales dan $-1$ y $1$ : distintos, así que el límite en $x = 7$ no existe. El valor absoluto es una función por tramos disfrazada.

Respuesta: por izquierda $-1$ y por derecha $1$ : el límite no existe

11. De una función se sabe que $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 7$ , $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 7$ y $f(1) = 0$ . Decidí si el límite existe y cuánto vale.

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1. Recordamos la condición. El límite existe cuando los dos laterales existen y dan el mismo número.

2. Comparamos los laterales. Los dos valen $7$ , así que la condición se cumple.

3. Escribimos el límite. $\lim_{x \to 1} f(x) = 7$

4. Miramos el valor de la función. $f(1) = 0$ , que no coincide con el límite. Eso no impide que el límite exista: el límite no mira el valor en el punto.

Respuesta: existe y vale $7$ , aunque $f(1) = 0$

12. Decidí si existe $\lim_{x \to 4} \sqrt{x - 4}$ , estudiando los dos lados.

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1. Buscamos el dominio de la función. La raíz de índice par pide $x - 4 \geq 0$ , o sea $x \geq 4$ .

2. Miramos el lado izquierdo. Para acercarse a $4$ por izquierda haría falta evaluar en valores menores que $4$ , donde la función no existe. El lateral izquierdo no se puede calcular.

3. Calculamos el lateral derecho. $\lim_{x \to 4^+} \sqrt{x - 4} = 0$ , porque el radicando tiende a cero.

4. Concluimos. El límite común no existe, porque hace falta que existan los dos lados. Lo que sí existe es el límite lateral por derecha, y vale $0$ .

Respuesta: el límite común no existe; el lateral derecho vale $0$

Integradores de Límites y continuidad: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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