Ejercicios: Qué es un límite

\lim_{x \to a} f(x) = L

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Calculá $\lim_{x \to 2} \left(2 x^{2} + 3 x + 1\right)$ .

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1. Miramos qué tipo de función es. Es un polinomio, y los polinomios no tienen ningún problema en ningún punto.

2. Probamos el reemplazo directo. $2 (2)^{2} + 3 (2) + 1$

3. Hacemos la cuenta. $8 + 6 + 1 = 15$

4. Interpretamos el resultado. Salió un número, así que el límite es ese y no hay más trabajo. Además vale $f(2) = 15$ : en las funciones sin problemas el límite coincide con el valor.

Respuesta: $\lim_{x \to 2} \left(2 x^{2} + 3 x + 1\right) = 15$

2. Sea $f(x) = x + 1$ para todo $x \neq 3$ , y $f(3) = 7$ . Calculá $\lim_{x \to 3} f(x)$ y compará con $f(3)$ .

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1. Recordamos qué mira el límite. El límite mira los valores cercanos a $3$ , no el valor exacto en $3$ .

2. Usamos la fórmula que rige cerca del punto. Para $x \neq 3$ la función es $x + 1$ , así que los valores cercanos se amontonan alrededor de $(3) + 1 = 4$ .

3. Escribimos el límite. $\lim_{x \to 3} f(x) = 4$

4. Comparamos con el valor de la función. $f(3) = 7$ , que es distinto del límite. Los dos existen y no coinciden: el gráfico tiene un punto suelto fuera de lugar.

Respuesta: el límite es $4$ y $f(3) = 7$ : no coinciden

3. Una función toma estos valores: $f(0{,}9) = 5{,}4$ , $f(0{,}99) = 5{,}94$ , $f(1{,}01) = 6{,}06$ y $f(1{,}1) = 6{,}6$ . Estimá $\lim_{x \to 1} f(x)$ .

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1. Ordenamos los datos según de qué lado están. Los dos primeros se acercan a $1$ por izquierda y los dos últimos por derecha.

2. Miramos hacia dónde apuntan los de la izquierda. $5{,}4$ y después $5{,}94$ : se acercan a $6$ .

3. Miramos los de la derecha. $6{,}6$ y después $6{,}06$ : también se acercan a $6$ .

4. Concluimos. Los dos lados apuntan al mismo número, así que el límite es $6$ . La tabla sugiere el valor, no lo demuestra: para asegurarlo hay que calcularlo.

Respuesta: $\lim_{x \to 1} f(x) = 6$

4. Decidí en cuál de los dos puntos $x = 0$ y $x = 3$ se puede calcular $\lim_{x \to x_0} \dfrac{x + 5}{x - 3}$ reemplazando, y qué pasa en el otro.

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1. Probamos el primer punto. En $x = 0$ el denominador vale $-3$ , distinto de cero, así que se puede reemplazar: el límite es $\dfrac{5}{-3} = - \dfrac{5}{3}$ .

2. Probamos el segundo. En $x = 3$ el denominador vale $0$ y el numerador $8$ .

3. Clasificamos ese caso. Un número distinto de cero dividido cero no es una indeterminación: la función se dispara y hay una asíntota vertical.

4. Sacamos la conclusión práctica. El primer paso de cualquier límite es reemplazar. Lo que salga decide si terminaste o si hay que usar alguna técnica.

Respuesta: en $x = 0$ se reemplaza y da $- \dfrac{5}{3}$ ; en $x = 3$ no, porque el denominador se anula

5. Calculá $\lim_{x \to -3} \left(x^{2} + 6 x - 2\right)$ .

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1. Miramos qué tipo de función es. Es un polinomio, y los polinomios no tienen ningún problema en ningún punto.

2. Probamos el reemplazo directo. $(-3)^{2} + 6 (-3) - 2$

3. Hacemos la cuenta. $9 - 18 - 2 = -11$

4. Interpretamos el resultado. Salió un número, así que el límite es ese y no hay más trabajo. Además vale $f(-3) = -11$ : en las funciones sin problemas el límite coincide con el valor.

Respuesta: $\lim_{x \to -3} \left(x^{2} + 6 x - 2\right) = -11$

6. Sea $f(x) = x + 5$ para todo $x \neq 2$ , y $f(2) = 9$ . Calculá $\lim_{x \to 2} f(x)$ y compará con $f(2)$ .

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1. Recordamos qué mira el límite. El límite mira los valores cercanos a $2$ , no el valor exacto en $2$ .

2. Usamos la fórmula que rige cerca del punto. Para $x \neq 2$ la función es $x + 5$ , así que los valores cercanos se amontonan alrededor de $(2) + 5 = 7$ .

3. Escribimos el límite. $\lim_{x \to 2} f(x) = 7$

4. Comparamos con el valor de la función. $f(2) = 9$ , que es distinto del límite. Los dos existen y no coinciden: el gráfico tiene un punto suelto fuera de lugar.

Respuesta: el límite es $7$ y $f(2) = 9$ : no coinciden

7. Una función toma estos valores: $f(2{,}9) = 5{,}8$ , $f(2{,}99) = 5{,}98$ , $f(3{,}01) = 6{,}02$ y $f(3{,}1) = 6{,}2$ . Estimá $\lim_{x \to 3} f(x)$ .

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1. Ordenamos los datos según de qué lado están. Los dos primeros se acercan a $3$ por izquierda y los dos últimos por derecha.

2. Miramos hacia dónde apuntan los de la izquierda. $5{,}8$ y después $5{,}98$ : se acercan a $6$ .

3. Miramos los de la derecha. $6{,}2$ y después $6{,}02$ : también se acercan a $6$ .

4. Concluimos. Los dos lados apuntan al mismo número, así que el límite es $6$ . La tabla sugiere el valor, no lo demuestra: para asegurarlo hay que calcularlo.

Respuesta: $\lim_{x \to 3} f(x) = 6$

8. Decidí en cuál de los dos puntos $x = 0$ y $x = 1$ se puede calcular $\lim_{x \to x_0} \dfrac{x + 3}{x - 1}$ reemplazando, y qué pasa en el otro.

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1. Probamos el primer punto. En $x = 0$ el denominador vale $-1$ , distinto de cero, así que se puede reemplazar: el límite es $\dfrac{3}{-1} = -3$ .

2. Probamos el segundo. En $x = 1$ el denominador vale $0$ y el numerador $4$ .

3. Clasificamos ese caso. Un número distinto de cero dividido cero no es una indeterminación: la función se dispara y hay una asíntota vertical.

4. Sacamos la conclusión práctica. El primer paso de cualquier límite es reemplazar. Lo que salga decide si terminaste o si hay que usar alguna técnica.

Respuesta: en $x = 0$ se reemplaza y da $-3$ ; en $x = 1$ no, porque el denominador se anula

9. Calculá $\lim_{x \to 3} \left(x^{2} - 4 x + 5\right)$ .

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1. Miramos qué tipo de función es. Es un polinomio, y los polinomios no tienen ningún problema en ningún punto.

2. Probamos el reemplazo directo. $(3)^{2} - 4 (3) + 5$

3. Hacemos la cuenta. $9 - 12 + 5 = 2$

4. Interpretamos el resultado. Salió un número, así que el límite es ese y no hay más trabajo. Además vale $f(3) = 2$ : en las funciones sin problemas el límite coincide con el valor.

Respuesta: $\lim_{x \to 3} \left(x^{2} - 4 x + 5\right) = 2$

10. Sea $f(x) = x + 2$ para todo $x \neq 4$ , y $f(4) = 5$ . Calculá $\lim_{x \to 4} f(x)$ y compará con $f(4)$ .

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1. Recordamos qué mira el límite. El límite mira los valores cercanos a $4$ , no el valor exacto en $4$ .

2. Usamos la fórmula que rige cerca del punto. Para $x \neq 4$ la función es $x + 2$ , así que los valores cercanos se amontonan alrededor de $(4) + 2 = 6$ .

3. Escribimos el límite. $\lim_{x \to 4} f(x) = 6$

4. Comparamos con el valor de la función. $f(4) = 5$ , que es distinto del límite. Los dos existen y no coinciden: el gráfico tiene un punto suelto fuera de lugar.

Respuesta: el límite es $6$ y $f(4) = 5$ : no coinciden

11. Una función toma estos valores: $f(2{,}9) = 20{,}3$ , $f(2{,}99) = 20{,}93$ , $f(3{,}01) = 21{,}07$ y $f(3{,}1) = 21{,}7$ . Estimá $\lim_{x \to 3} f(x)$ .

Ver solución

1. Ordenamos los datos según de qué lado están. Los dos primeros se acercan a $3$ por izquierda y los dos últimos por derecha.

2. Miramos hacia dónde apuntan los de la izquierda. $20{,}3$ y después $20{,}93$ : se acercan a $21$ .

3. Miramos los de la derecha. $21{,}7$ y después $21{,}07$ : también se acercan a $21$ .

4. Concluimos. Los dos lados apuntan al mismo número, así que el límite es $21$ . La tabla sugiere el valor, no lo demuestra: para asegurarlo hay que calcularlo.

Respuesta: $\lim_{x \to 3} f(x) = 21$

12. Decidí en cuál de los dos puntos $x = 0$ y $x = 1$ se puede calcular $\lim_{x \to x_0} \dfrac{x + 6}{x - 1}$ reemplazando, y qué pasa en el otro.

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1. Probamos el primer punto. En $x = 0$ el denominador vale $-1$ , distinto de cero, así que se puede reemplazar: el límite es $\dfrac{6}{-1} = -6$ .

2. Probamos el segundo. En $x = 1$ el denominador vale $0$ y el numerador $7$ .

3. Clasificamos ese caso. Un número distinto de cero dividido cero no es una indeterminación: la función se dispara y hay una asíntota vertical.

4. Sacamos la conclusión práctica. El primer paso de cualquier límite es reemplazar. Lo que salga decide si terminaste o si hay que usar alguna técnica.

Respuesta: en $x = 0$ se reemplaza y da $-6$ ; en $x = 1$ no, porque el denominador se anula

Integradores de Límites y continuidad: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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