Ejercicios: Funciones por tramos

primero se decide en qué tramo cae el valor

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Sea $f(x) = 4 - x$ si $x < 3$ y $f(x) = 2 x$ si $x \geq 3$ . Calculá $f(0)$ , $f(3)$ y $f(5)$ .

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1. Ubicamos el primer valor. $0$ es menor que $3$ , así que le corresponde la primera rama: $f(0) = 4$ .

2. Ubicamos el segundo, que cae justo en el borde. La condición de la segunda rama es $x \geq 3$ , y el $3$ está incluido, así que $f(3) = 6$ .

3. Ubicamos el tercero. $5$ es mayor que $3$ : segunda rama, $f(5) = 10$ .

4. Repasamos el orden del procedimiento. Primero se decide el tramo mirando la condición y recién después se usa la fórmula. Hacerlo al revés es el error más común del tema.

Respuesta: $f(0) = 4$ , $f(3) = 6$ y $f(5) = 10$

2. Sea $f(x) = x^{2}$ si $x < 2$ y $f(x) = x + 7$ si $x \geq 2$ . Decidí si hay un salto en $x = 2$ .

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1. Miramos a qué altura llega la rama de la izquierda. Con valores apenas menores que $2$ rige $x^{2}$ , que se acerca a $4$ .

2. Miramos con qué altura arranca la rama de la derecha. En $x = 2$ y a la derecha rige $x + 7$ , que vale $9$ .

3. Comparamos los dos valores. $4$ contra $9$ : difieren en $5$ .

4. Concluimos. Las ramas llegan a alturas distintas, así que el gráfico pega un salto de $5$ en $x = 2$ .

Respuesta: hay un salto de $5$ en $x = 2$

3. Hallá el valor de $a$ para que $f(x) = 4 x + a$ si $x < 3$ y $f(x) = x^{2}$ si $x \geq 3$ no tenga salto en $x = 3$ .

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1. Planteamos qué significa no tener salto. Las dos ramas tienen que llegar a la misma altura en el punto de cambio $x = 3$ .

2. Calculamos la altura de la rama derecha. En $x = 3$ rige $x^{2}$ , que vale $9$ .

3. Escribimos a qué se acerca la rama izquierda. Con valores apenas menores que $3$ rige $4 x + a$ , que se acerca a $12 + a$ .

4. Igualamos y despejamos. $12 + a = 9$ , entonces $a = -3$ . Con ese valor las ramas se pegan y el gráfico queda sin saltos.

Respuesta: $a = -3$

4. Una empresa cobra $800$ pesos fijos hasta $50$ kWh, y a partir de ahí suma $40$ pesos por cada kWh que pase de $50$ . Escribí la función del costo y calculá lo que paga quien consume $30$ kWh y quien consume $90$ kWh.

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1. Identificamos los dos tramos. La regla cambia en $50$ kWh: antes es un monto fijo y después crece con el consumo.

2. Escribimos la primera rama. $C(x) = 800$ para $0 \leq x \leq 50$ : no importa cuánto se consuma dentro del tope.

3. Escribimos la segunda rama. Se paga el fijo más $40$ por cada kWh excedente: $C(x) = 800 + 40(x - 50)$ para $x > 50$ .

4. Evaluamos los dos consumos. $30$ está en el primer tramo, así que paga $800$ pesos. $90$ está en el segundo: $800 + 40 \cdot 40 = 2400$ pesos.

Respuesta: $C(x) = 800$ hasta $50$ kWh y $C(x) = 800 + 40(x - 50)$ después; pagan $800$ y $2400$ pesos

5. Sea $f(x) = 2 - x$ si $x < 0$ y $f(x) = 5 x$ si $x \geq 0$ . Calculá $f(-3)$ , $f(0)$ y $f(2)$ .

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1. Ubicamos el primer valor. $-3$ es menor que $0$ , así que le corresponde la primera rama: $f(-3) = 5$ .

2. Ubicamos el segundo, que cae justo en el borde. La condición de la segunda rama es $x \geq 0$ , y el $0$ está incluido, así que $f(0) = 0$ .

3. Ubicamos el tercero. $2$ es mayor que $0$ : segunda rama, $f(2) = 10$ .

4. Repasamos el orden del procedimiento. Primero se decide el tramo mirando la condición y recién después se usa la fórmula. Hacerlo al revés es el error más común del tema.

Respuesta: $f(-3) = 5$ , $f(0) = 0$ y $f(2) = 10$

6. Sea $f(x) = x^{2}$ si $x < 3$ y $f(x) = x + 4$ si $x \geq 3$ . Decidí si hay un salto en $x = 3$ .

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1. Miramos a qué altura llega la rama de la izquierda. Con valores apenas menores que $3$ rige $x^{2}$ , que se acerca a $9$ .

2. Miramos con qué altura arranca la rama de la derecha. En $x = 3$ y a la derecha rige $x + 4$ , que vale $7$ .

3. Comparamos los dos valores. $9$ contra $7$ : difieren en $2$ .

4. Concluimos. Las ramas llegan a alturas distintas, así que el gráfico pega un salto de $2$ en $x = 3$ .

Respuesta: hay un salto de $2$ en $x = 3$

7. Hallá el valor de $a$ para que $f(x) = x + a$ si $x < 4$ y $f(x) = x^{2}$ si $x \geq 4$ no tenga salto en $x = 4$ .

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1. Planteamos qué significa no tener salto. Las dos ramas tienen que llegar a la misma altura en el punto de cambio $x = 4$ .

2. Calculamos la altura de la rama derecha. En $x = 4$ rige $x^{2}$ , que vale $16$ .

3. Escribimos a qué se acerca la rama izquierda. Con valores apenas menores que $4$ rige $x + a$ , que se acerca a $4 + a$ .

4. Igualamos y despejamos. $4 + a = 16$ , entonces $a = 12$ . Con ese valor las ramas se pegan y el gráfico queda sin saltos.

Respuesta: $a = 12$

8. Una empresa cobra $2000$ pesos fijos hasta $120$ kWh, y a partir de ahí suma $22$ pesos por cada kWh que pase de $120$ . Escribí la función del costo y calculá lo que paga quien consume $100$ kWh y quien consume $180$ kWh.

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1. Identificamos los dos tramos. La regla cambia en $120$ kWh: antes es un monto fijo y después crece con el consumo.

2. Escribimos la primera rama. $C(x) = 2000$ para $0 \leq x \leq 120$ : no importa cuánto se consuma dentro del tope.

3. Escribimos la segunda rama. Se paga el fijo más $22$ por cada kWh excedente: $C(x) = 2000 + 22(x - 120)$ para $x > 120$ .

4. Evaluamos los dos consumos. $100$ está en el primer tramo, así que paga $2000$ pesos. $180$ está en el segundo: $2000 + 22 \cdot 60 = 3320$ pesos.

Respuesta: $C(x) = 2000$ hasta $120$ kWh y $C(x) = 2000 + 22(x - 120)$ después; pagan $2000$ y $3320$ pesos

9. Sea $f(x) = 1 - x$ si $x < 2$ y $f(x) = 3 x$ si $x \geq 2$ . Calculá $f(-1)$ , $f(2)$ y $f(4)$ .

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1. Ubicamos el primer valor. $-1$ es menor que $2$ , así que le corresponde la primera rama: $f(-1) = 2$ .

2. Ubicamos el segundo, que cae justo en el borde. La condición de la segunda rama es $x \geq 2$ , y el $2$ está incluido, así que $f(2) = 6$ .

3. Ubicamos el tercero. $4$ es mayor que $2$ : segunda rama, $f(4) = 12$ .

4. Repasamos el orden del procedimiento. Primero se decide el tramo mirando la condición y recién después se usa la fórmula. Hacerlo al revés es el error más común del tema.

Respuesta: $f(-1) = 2$ , $f(2) = 6$ y $f(4) = 12$

10. Sea $f(x) = x^{2}$ si $x < 2$ y $f(x) = x + 3$ si $x \geq 2$ . Decidí si hay un salto en $x = 2$ .

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1. Miramos a qué altura llega la rama de la izquierda. Con valores apenas menores que $2$ rige $x^{2}$ , que se acerca a $4$ .

2. Miramos con qué altura arranca la rama de la derecha. En $x = 2$ y a la derecha rige $x + 3$ , que vale $5$ .

3. Comparamos los dos valores. $4$ contra $5$ : difieren en $1$ .

4. Concluimos. Las ramas llegan a alturas distintas, así que el gráfico pega un salto de $1$ en $x = 2$ .

Respuesta: hay un salto de $1$ en $x = 2$

11. Hallá el valor de $a$ para que $f(x) = 2 x + a$ si $x < 3$ y $f(x) = x^{2}$ si $x \geq 3$ no tenga salto en $x = 3$ .

Ver solución

1. Planteamos qué significa no tener salto. Las dos ramas tienen que llegar a la misma altura en el punto de cambio $x = 3$ .

2. Calculamos la altura de la rama derecha. En $x = 3$ rige $x^{2}$ , que vale $9$ .

3. Escribimos a qué se acerca la rama izquierda. Con valores apenas menores que $3$ rige $2 x + a$ , que se acerca a $6 + a$ .

4. Igualamos y despejamos. $6 + a = 9$ , entonces $a = 3$ . Con ese valor las ramas se pegan y el gráfico queda sin saltos.

Respuesta: $a = 3$

12. Una empresa cobra $1200$ pesos fijos hasta $100$ kWh, y a partir de ahí suma $25$ pesos por cada kWh que pase de $100$ . Escribí la función del costo y calculá lo que paga quien consume $80$ kWh y quien consume $140$ kWh.

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1. Identificamos los dos tramos. La regla cambia en $100$ kWh: antes es un monto fijo y después crece con el consumo.

2. Escribimos la primera rama. $C(x) = 1200$ para $0 \leq x \leq 100$ : no importa cuánto se consuma dentro del tope.

3. Escribimos la segunda rama. Se paga el fijo más $25$ por cada kWh excedente: $C(x) = 1200 + 25(x - 100)$ para $x > 100$ .

4. Evaluamos los dos consumos. $80$ está en el primer tramo, así que paga $1200$ pesos. $140$ está en el segundo: $1200 + 25 \cdot 40 = 2200$ pesos.

Respuesta: $C(x) = 1200$ hasta $100$ kWh y $C(x) = 1200 + 25(x - 100)$ después; pagan $1200$ y $2200$ pesos

Integradores de Funciones: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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