Ejercicios: Función inversa

2. Despejamos $x$. $y - 2 = 5x$, entonces $x = \dfrac{y - 2}{5}$.

3. Intercambiamos los nombres. $f^{-1}(x) = \dfrac{x - 2}{5}$

4. Verificamos componiendo. $f(f^{-1}(x)) = 5 \cdot \dfrac{x - 2}{5} + 2 = x$. Correcto: la inversa deshace lo que hizo $f$.

Respuesta: $f^{-1}(x) = \dfrac{x - 2}{5}$

2. Vemos por qué eso impide la inversa. Si la inversa recibiera $40$, no sabría si devolver $6$ o $-6$.

3. Usamos el criterio gráfico. La recta horizontal correspondiente corta la parábola en dos puntos, así que no es inyectiva. Es el criterio espejo del de la recta vertical.

4. Restringimos el dominio. En $x \geq 0$ la función es creciente y por lo tanto inyectiva. Ahí sí hay inversa: despejando queda $f^{-1}(x) = \sqrt{x - 4}$, con dominio $[4, +\infty)$.

Respuesta: no tiene inversa en $\mathbb{R}$; restringida a $x \geq 0$ su inversa es $\sqrt{x - 4}$

2. Despejamos usando la definición de logaritmo. $x = \log_{3} y$: el logaritmo es justamente la pregunta inversa de la potencia.

3. Intercambiamos los nombres. $f^{-1}(x) = \log_{3} x$

4. Escribimos dominio e imagen. $f$ tiene dominio $\mathbb{R}$ e imagen $(0, +\infty)$. La inversa los intercambia: dominio $(0, +\infty)$ e imagen $\mathbb{R}$. Por eso el logaritmo no acepta negativos.

Respuesta: $f^{-1}(x) = \log_{3} x$, con dominio $(0, +\infty)$ e imagen $\mathbb{R}$

2. Planteamos y resolvemos la ecuación. $x^{3} + x + 6 = 16$, o sea $x^{3} + x = 10$. Probando enteros chicos, $x = 2$ da $10$, que es justo lo pedido.

3. Justificamos que no hay otra. Como $f$ es creciente, es inyectiva: cada valor se alcanza una sola vez, así que esa solución es la única.

4. Calculamos la otra expresión. $\dfrac{1}{f(16)} = \dfrac{1}{4118}$, que no tiene nada que ver con $2$. El $-1$ de la inversa es notación, no un exponente.

Respuesta: $f^{-1}(16) = 2$, mientras que $\dfrac{1}{f(16)} = \dfrac{1}{4118}$

2. Intercambiamos los nombres. $f^{-1}(x) = \dfrac{x + 6}{3}$

3. Calculamos $f(1)$. $f(1) = -3$

4. Aplicamos la inversa a ese valor. $f^{-1}(-3) = \dfrac{-3 + 6}{3} = \dfrac{3}{3} = 1$. Volvimos al valor original, que es exactamente lo que hace una inversa.

Respuesta: $f^{-1}(x) = \dfrac{x + 6}{3}$

2. Vemos por qué eso impide la inversa. Si la inversa recibiera $10$, no sabría si devolver $3$ o $-3$.

3. Usamos el criterio gráfico. La recta horizontal correspondiente corta la parábola en dos puntos, así que no es inyectiva. Es el criterio espejo del de la recta vertical.

4. Restringimos el dominio. En $x \geq 0$ la función es creciente y por lo tanto inyectiva. Ahí sí hay inversa: despejando queda $f^{-1}(x) = \sqrt{x - 1}$, con dominio $[1, +\infty)$.

Respuesta: no tiene inversa en $\mathbb{R}$; restringida a $x \geq 0$ su inversa es $\sqrt{x - 1}$

2. Aislamos la potencia. $y - 6 = 3^{x}$

3. Aplicamos logaritmo y despejamos. $x = \log_{3}(y - 6)$, así que $f^{-1}(x) = \log_{3}(x - 6)$.

4. Escribimos el dominio de la inversa. La imagen de $f$ es $(6, +\infty)$, porque la exponencial nunca llega a cero y todo está corrido $6$. Ese es el dominio de la inversa, y coincide con pedir $x - 6 > 0$.

Respuesta: $f^{-1}(x) = \log_{3}(x - 6)$, con dominio $(6, +\infty)$

2. Planteamos y resolvemos la ecuación. $x^{3} + x + 3 = 13$, o sea $x^{3} + x = 10$. Probando enteros chicos, $x = 2$ da $10$, que es justo lo pedido.

3. Justificamos que no hay otra. Como $f$ es creciente, es inyectiva: cada valor se alcanza una sola vez, así que esa solución es la única.

4. Calculamos la otra expresión. $\dfrac{1}{f(13)} = \dfrac{1}{2213}$, que no tiene nada que ver con $2$. El $-1$ de la inversa es notación, no un exponente.

Respuesta: $f^{-1}(13) = 2$, mientras que $\dfrac{1}{f(13)} = \dfrac{1}{2213}$

2. Despejamos $x$. $y(x - 2) = 1$, entonces $x - 2 = \dfrac{1}{y}$ y $x = \dfrac{1}{y} + 2$.

3. Intercambiamos los nombres. $f^{-1}(x) = \dfrac{1}{x} + 2$

4. Escribimos el dominio. El dominio de la inversa es la imagen de la original. $f$ nunca vale cero, así que la inversa no acepta el cero: su dominio es $\mathbb{R} - \{0\}$.

Respuesta: $f^{-1}(x) = \dfrac{1}{x} + 2$, con dominio $\mathbb{R} - \{0\}$

2. Vemos por qué eso impide la inversa. Si la inversa recibiera $11$, no sabría si devolver $2$ o $-2$.

3. Usamos el criterio gráfico. La recta horizontal correspondiente corta la parábola en dos puntos, así que no es inyectiva. Es el criterio espejo del de la recta vertical.

4. Restringimos el dominio. En $x \geq 0$ la función es creciente y por lo tanto inyectiva. Ahí sí hay inversa: despejando queda $f^{-1}(x) = \sqrt{x - 7}$, con dominio $[7, +\infty)$.

Respuesta: no tiene inversa en $\mathbb{R}$; restringida a $x \geq 0$ su inversa es $\sqrt{x - 7}$

2. Despejamos. $y = \sqrt{x - 3}$, elevamos al cuadrado: $y^{2} = x - 3$, entonces $x = y^{2} + 3$.

3. Intercambiamos los nombres. $f^{-1}(x) = x^{2} + 3$

4. Escribimos el dominio de la inversa. Es la imagen de $f$: $[0, +\infty)$. Sin esa restricción, $x^{2} + 3$ no sería inversa de nada, porque no es inyectiva en todo $\mathbb{R}$.

Respuesta: $f^{-1}(x) = x^{2} + 3$ con dominio $[0, +\infty)$ e imagen $[3, +\infty)$

2. Planteamos y resolvemos la ecuación. $x^{3} + x + 2 = 32$, o sea $x^{3} + x = 30$. Probando enteros chicos, $x = 3$ da $30$, que es justo lo pedido.

3. Justificamos que no hay otra. Como $f$ es creciente, es inyectiva: cada valor se alcanza una sola vez, así que esa solución es la única.

4. Calculamos la otra expresión. $\dfrac{1}{f(32)} = \dfrac{1}{32802}$, que no tiene nada que ver con $3$. El $-1$ de la inversa es notación, no un exponente.

Respuesta: $f^{-1}(32) = 3$, mientras que $\dfrac{1}{f(32)} = \dfrac{1}{32802}$