Función inversa

La inversa de una función deshace lo que la función hizo: si $f$ manda un valor a otro, $f^{-1}$ lo trae de vuelta. Componer las dos, en cualquier orden, devuelve el valor original.

No toda función tiene inversa. Hace falta que sea inyectiva, o sea que valores de entrada distintos den resultados distintos. Si dos entradas dieran lo mismo, al querer volver no se sabría a cuál regresar.

Sobre el gráfico esto se chequea con la recta horizontal: si alguna corta la curva en más de un punto, la función no es inyectiva y no tiene inversa. Es el criterio espejo del de la recta vertical.

Cuando una función no es inyectiva se la puede restringir a un tramo donde sí lo sea, y ahí la inversa existe. Eso es exactamente lo que se hace con el cuadrado para definir la raíz, o con el seno para definir el arcoseno.

Para calcularla se despeja la variable y después se intercambian los nombres. Y hay un intercambio que conviene tener presente: el dominio de la inversa es la imagen de la original, y viceversa. Los gráficos quedan reflejados respecto de la recta $y = x$ .

se despeja x y se intercambian los nombres

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio pide la inversa o pregunta si existe. Antes de despejar, verificá que la función sea inyectiva con el criterio de la recta horizontal. Si no lo es, el ejercicio suele pedir que restrinjas el dominio a un tramo donde sí lo sea.

Ejemplo 1

Hallar la inversa de $f(x) = 3x - 6$ .

Escribimos con y. $y = 3x - 6$
Despejamos x: pasamos el término independiente. $y + 6 = 3x$
Terminamos de despejar. $x = (y + 6)/3$
Intercambiamos los nombres. $f^{-1}(x) = (x + 6)/3$
Verificamos componiendo. $f(f^{-1}(x)) = 3\cdot (x+6)/3 - 6 = x + 6 - 6 = x$ . Correcto.
Respuesta: $f^{-1}(x) = (x + 6)/3$

Ejemplo 2

Explicar por qué $f(x) = x^{2}$ no tiene inversa en todo $\mathbb{R}$ .

Verificamos la inyectividad. $f(3) = 9$ y $f(-3) = 9$ : dos entradas distintas dan la misma salida.
Vemos el problema. Si la inversa recibiera $9$ , no sabría si devolver $3$ o $-3$ .
Concluimos. No se puede definir una inversa que sea función.
Buscamos la salida. Restringiendo el dominio a $x \geq 0$ la función pasa a ser inyectiva, y su inversa es $\sqrt{x}$ .
Respuesta: no es inyectiva; restringida a $x \geq 0$ su inversa es $\sqrt{x}$

Error típico

Confundir $f^{-1}(x)$ con $1/f(x)$ . El $-1$ de la inversa no es un exponente: es notación. La inversa de $2x$ es $x/2$ , no $1/(2x)$ .

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Otros subtemas de Funciones

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