Funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas asocian a cada ángulo un número, y su rasgo distintivo es que se repiten: después de recorrer una vuelta completa vuelven a tomar los mismos valores. Esa repetición se llama periodicidad.

El seno y el coseno están definidos para cualquier ángulo y sus valores nunca se salen del intervalo entre $-1$ y $1$ . Los dos tienen el mismo período y la misma forma de onda: la diferencia es que están corridos un cuarto de vuelta uno respecto del otro.

La tangente es el cociente entre los dos, así que no está definida donde el coseno se anula. En esos puntos tiene asíntotas verticales, y su período es la mitad del de las otras dos.

Tres parámetros modifican el gráfico y cada uno hace algo distinto. Un factor que multiplica a toda la función cambia la amplitud, o sea qué tan alto llega. Un factor que multiplica al ángulo cambia el período, comprimiendo o estirando la onda. Y un número sumado adentro desplaza la onda hacia los costados.

Conviene trabajar en radianes y no en grados. En radianes las fórmulas de derivación salen limpias, mientras que en grados aparecen constantes de conversión que ensucian todo.

período

2\pi

· imagen entre

-1

1

Cuándo se usa

Cuando aparece un seno, un coseno o una tangente y hay que graficar o hallar el período. También en problemas de fenómenos que se repiten en el tiempo. Trabajá siempre en radianes: en grados las derivadas quedan con constantes de más.

Ejemplo 1

Hallar todos los valores de $x$ en $[0, 2\pi ]$ donde $\operatorname{sen} x = 0$ .

Miramos dónde la curva cruza el eje. El seno arranca en cero en el origen.
Seguimos el recorrido. Sube hasta $1$ en $\pi /2$ , y vuelve a cero en $\pi$ .
Continuamos. Baja hasta $-1$ en $3\pi /2$ , y vuelve a cero en $2\pi$ .
Listamos las soluciones. En el intervalo pedido hay tres: $0$ , $\pi$ y $2\pi$ .
Respuesta: $x = 0$ , $\pi$ y $2\pi$

Ejemplo 2

Explicar por qué $\operatorname{tg} x$ no existe en $\pi /2$ .

Escribimos la definición. $\operatorname{tg} x = \operatorname{sen} x / \cos x$ .
Evaluamos el denominador ahí. $\cos(\pi /2) = 0$ .
Miramos el numerador. $\operatorname{sen}(\pi /2) = 1$ , que no es cero.
Concluimos. Queda un número distinto de cero dividido cero: no está definido, y ahí hay una asíntota vertical.
Respuesta: no existe porque el coseno se anula, y ahí la tangente tiene asíntota

Error típico

Escribir que $\operatorname{sen} x$ puede valer $2$ . La imagen es $[-1, 1]$ sin excepción: una ecuación como $\operatorname{sen} x = 2$ no tiene solución.

Practicar

← Exponencial y logaritmo Desplazamientos →

Otros subtemas de Funciones

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .