Ejercicios: Funciones trigonométricas

2. Identificamos el período. El factor que multiplica al ángulo es $3$, y el período es $\dfrac{2\pi}{3}$: la onda se comprime.

3. Aplicamos el desplazamiento vertical. Sumar $-1$ sube toda la onda, así que los extremos pasan a ser $-3$ y $1$.

4. Escribimos la imagen. Los dos extremos se alcanzan, así que el intervalo es cerrado. La amplitud no cambió: sumar afuera mueve la onda pero no la estira.

Respuesta: amplitud $2$, período $\dfrac{2 \pi}{3}$, imagen $[-3, 1]$

2. Buscamos el ángulo de referencia. Es el ángulo del primer cuadrante cuyo coseno vale el módulo del dato: $\dfrac{\pi}{4}$.

3. Elegimos los cuadrantes. El valor pedido es negativo, y el coseno tiene ese signo en el segundo y el tercero cuadrante.

4. Escribimos las soluciones del intervalo. Quedan $x = \dfrac{3\pi}{4}$ y $x = \dfrac{5\pi}{4}$. Fuera de $[0, 2\pi]$ hay infinitas más, sumando vueltas enteras de $2\pi$.

Respuesta: $x = \dfrac{3\pi}{4}$ y $x = \dfrac{5\pi}{4}$

2. Contamos cuántas vueltas sobran. $\dfrac{13 \pi}{3}$ es mayor que $2\pi$, así que restamos $2$ vueltas: $\dfrac{13 \pi}{3} - 4 \pi = \dfrac{\pi}{3}$.

3. Evaluamos en el ángulo reducido. $\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}$, que es un valor de la tabla de ángulos notables.

4. Escribimos la conclusión. Como los dos ángulos difieren en vueltas enteras, $\cos\left(\dfrac{13 \pi}{3}\right)$ vale exactamente lo mismo.

Respuesta: $\cos\left(\dfrac{13 \pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}$

2. Comparamos con el dato. $2$ es mayor que $1$.

3. Concluimos. Ningún ángulo tiene ese seno, así que la ecuación no tiene solución.

4. Miramos el error frecuente. No hay que ponerse a buscar ángulos ni a usar la calculadora: alcanza con comparar el dato con la imagen antes de empezar.

Respuesta: no tiene solución

2. Identificamos el período. El factor que multiplica al ángulo es $4$, y el período es $\dfrac{2\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2}$: la onda se comprime.

3. Aplicamos el desplazamiento vertical. Sumar $-3$ sube toda la onda, así que los extremos pasan a ser $-8$ y $2$.

4. Escribimos la imagen. Los dos extremos se alcanzan, así que el intervalo es cerrado. La amplitud no cambió: sumar afuera mueve la onda pero no la estira.

Respuesta: amplitud $5$, período $\dfrac{\pi}{2}$, imagen $[-8, 2]$

2. Buscamos el ángulo de referencia. Es el ángulo del primer cuadrante cuyo seno vale el módulo del dato: $\dfrac{\pi}{3}$.

3. Elegimos los cuadrantes. El valor pedido es positivo, y el seno tiene ese signo en el primero y el segundo cuadrante.

4. Escribimos las soluciones del intervalo. Quedan $x = \dfrac{\pi}{3}$ y $x = \dfrac{2\pi}{3}$. Fuera de $[0, 2\pi]$ hay infinitas más, sumando vueltas enteras de $2\pi$.

Respuesta: $x = \dfrac{\pi}{3}$ y $x = \dfrac{2\pi}{3}$

2. Contamos cuántas vueltas sobran. $\dfrac{19 \pi}{4}$ es mayor que $2\pi$, así que restamos $2$ vueltas: $\dfrac{19 \pi}{4} - 4 \pi = \dfrac{3 \pi}{4}$.

3. Evaluamos en el ángulo reducido. $\operatorname{sen}\left(\dfrac{3 \pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, que es un valor de la tabla de ángulos notables.

4. Escribimos la conclusión. Como los dos ángulos difieren en vueltas enteras, $\operatorname{sen}\left(\dfrac{19 \pi}{4}\right)$ vale exactamente lo mismo.

Respuesta: $\operatorname{sen}\left(\dfrac{19 \pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

2. Comparamos con el dato. $- \dfrac{3}{4}$ está entre $-1$ y $0$, así que sí hay soluciones.

3. Ubicamos el signo. El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante.

4. Contamos las soluciones. En una vuelta hay dos, una en cada uno de esos cuadrantes. No son ángulos notables, así que el valor exacto se obtiene con arcocoseno.

Respuesta: sí existe: hay dos soluciones por vuelta, en el segundo y el tercer cuadrante

2. Identificamos el período. El factor que multiplica al ángulo es $2$, y el período es $\dfrac{2\pi}{2} = \pi$: la onda se comprime.

3. Aplicamos el desplazamiento vertical. Sumar $2$ sube toda la onda, así que los extremos pasan a ser $-2$ y $6$.

4. Escribimos la imagen. Los dos extremos se alcanzan, así que el intervalo es cerrado. La amplitud no cambió: sumar afuera mueve la onda pero no la estira.

Respuesta: amplitud $4$, período $\pi$, imagen $[-2, 6]$

2. Buscamos el ángulo de referencia. Es el ángulo del primer cuadrante cuyo seno vale el módulo del dato: $\dfrac{\pi}{6}$.

3. Elegimos los cuadrantes. El valor pedido es positivo, y el seno tiene ese signo en el primero y el segundo cuadrante.

4. Escribimos las soluciones del intervalo. Quedan $x = \dfrac{\pi}{6}$ y $x = \dfrac{5\pi}{6}$. Fuera de $[0, 2\pi]$ hay infinitas más, sumando vueltas enteras de $2\pi$.

Respuesta: $x = \dfrac{\pi}{6}$ y $x = \dfrac{5\pi}{6}$

2. Contamos cuántas vueltas sobran. $\dfrac{11 \pi}{3}$ es mayor que $2\pi$, así que restamos $1$ vuelta: $\dfrac{11 \pi}{3} - 2 \pi = \dfrac{5 \pi}{3}$.

3. Evaluamos en el ángulo reducido. $\cos\left(\dfrac{5 \pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}$, que es un valor de la tabla de ángulos notables.

4. Escribimos la conclusión. Como los dos ángulos difieren en vueltas enteras, $\cos\left(\dfrac{11 \pi}{3}\right)$ vale exactamente lo mismo.

Respuesta: $\cos\left(\dfrac{11 \pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}$

2. Evaluamos el denominador en el punto. $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0$, y el numerador vale $1$.

3. Interpretamos. Queda un número distinto de cero dividido cero: no está definido, y ahí la tangente tiene una asíntota vertical.

4. Generalizamos. El coseno se anula en $\dfrac{\pi}{2}$ y cada media vuelta, así que la tangente no existe en $\dfrac{\pi}{2} + k\pi$, con $k$ entero.

Respuesta: no existe donde el coseno se anula: en $\dfrac{\pi}{2} + k\pi$