Ejercicios: Exponencial y logaritmo

2. Contestamos. Al exponente $6$, así que $\ln\left(e^{6}\right) = 6$.

3. Miramos la segunda. $\ln 2$ es el exponente que hay que ponerle a $e$ para obtener $2$.

4. Contestamos y miramos el dominio. Al elevar $e$ a ese exponente volvemos a $2$. La primera cancelación vale para cualquier real y la segunda solo para argumentos positivos, como $2$.

Respuesta: $\ln\left(e^{6}\right) = 6$ y $e^{\ln 2} = 2$

2. Aplicamos logaritmo a los dos lados. $\ln\left(7^{2 x + 1}\right) = \ln 4$

3. Bajamos el exponente con la propiedad de la potencia. $(2 x + 1)\ln 7 = \ln 4$, entonces $2 x + 1 = \dfrac{\ln 4}{\ln 7}$.

4. Despejamos $x$. $x = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\ln 4}{\ln 7} - 1\right) \approx -0{,}1438$

Respuesta: $x = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\ln 4}{\ln 7} - 1\right) \approx -0{,}1438$

2. Aplicamos la exponencial para sacar los logaritmos. Como el logaritmo es inyectivo, $x(x - 7) = 8$.

3. Resolvemos la cuadrática. $x^{2} - 7x - 8 = 0$, que se factoriza como $(x - 8)(x + 1) = 0$ y da $x = 8$ y $x = -1$.

4. Verificamos contra el dominio original. El planteo pedía $x > 0$ y $x - 7 > 0$, o sea $x > 7$. $x = 8$ cumple, pero $x = -1$ no: aplicar la exponencial generó una solución falsa que hay que descartar.

Respuesta: la única solución es $x = 8$

2. Despejamos la potencia. Dividimos por $10000$: $\dfrac{107}{100}^{t} = 2$. El capital inicial se cancela, así que el tiempo de duplicación no depende de cuánto se puso.

3. Aplicamos logaritmo a los dos lados. $t\ln \dfrac{107}{100} = \ln 2$, entonces $t = \dfrac{\ln 2}{\ln \dfrac{107}{100}}$.

4. Calculamos. $t \approx 10{,}2448$ años. Acá el logaritmo es imprescindible: la incógnita está en el exponente y no hay forma de igualar bases.

Respuesta: $t = \dfrac{\ln 2}{\ln \dfrac{107}{100}} \approx 10{,}2448$ años

2. Vemos para qué $x$ vale. La exponencial acepta cualquier exponente, así que esta igualdad vale para todo $x$ real.

3. Miramos la segunda. Acá el logaritmo actúa primero, y necesita $2x > 0$.

4. Escribimos la restricción. Como $2$ es positivo, la condición es $x > 0$. Las dos cancelaciones no tienen el mismo dominio, y ese es el detalle que más se pasa por alto.

Respuesta: $\ln\left(e^{2x}\right) = 2x$ para todo $x$, y la segunda solo para $x > 0$

2. Aplicamos logaritmo a los dos lados. $\ln\left(2^{5 x + 3}\right) = \ln 11$

3. Bajamos el exponente con la propiedad de la potencia. $(5 x + 3)\ln 2 = \ln 11$, entonces $5 x + 3 = \dfrac{\ln 11}{\ln 2}$.

4. Despejamos $x$. $x = \dfrac{1}{5}\left(\dfrac{\ln 11}{\ln 2} - 3\right) \approx 0{,}0919$

Respuesta: $x = \dfrac{1}{5}\left(\dfrac{\ln 11}{\ln 2} - 3\right) \approx 0{,}0919$

2. Aplicamos la exponencial para sacar los logaritmos. Como el logaritmo es inyectivo, $x(x - 4) = 12$.

3. Resolvemos la cuadrática. $x^{2} - 4x - 12 = 0$, que se factoriza como $(x - 6)(x + 2) = 0$ y da $x = 6$ y $x = -2$.

4. Verificamos contra el dominio original. El planteo pedía $x > 0$ y $x - 4 > 0$, o sea $x > 4$. $x = 6$ cumple, pero $x = -2$ no: aplicar la exponencial generó una solución falsa que hay que descartar.

Respuesta: la única solución es $x = 6$

2. Notamos que la cantidad inicial se cancela. Dividiendo por $C_{0}$ la ecuación deja de depender de cuánto material había.

3. Aplicamos logaritmo. $\dfrac{t}{8}\ln\left(\dfrac{1}{2}\right) = \ln(0{,}1)$, entonces $t = 8 \cdot \dfrac{\ln(0{,}1)}{\ln(0{,}5)}$.

4. Calculamos y controlamos el resultado. $t \approx 26{,}5754$ años. Tiene sentido: en $8$ años queda la mitad y en $16$ años la cuarta parte, así que llegar al $10$ por ciento tarda algo más que eso.

Respuesta: $t = 8 \cdot \dfrac{\ln(0{,}1)}{\ln(0{,}5)} \approx 26{,}5754$ años

2. Escribimos el resultado. $\log_{9}\left(9^{4}\right) = 4$

3. Miramos la segunda. Es la otra cancelación, $a^{\log_{a} u} = u$, con $u = 81$.

4. Escribimos el resultado y el cuidado. Da $81$. Esta versión exige $u > 0$, porque si no el logaritmo de adentro no existe.

Respuesta: $4$ y $81$

2. Aplicamos logaritmo a los dos lados. $\ln\left(3^{2 x - 1}\right) = \ln 5$

3. Bajamos el exponente con la propiedad de la potencia. $(2 x - 1)\ln 3 = \ln 5$, entonces $2 x - 1 = \dfrac{\ln 5}{\ln 3}$.

4. Despejamos $x$. $x = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\ln 5}{\ln 3} + 1\right) \approx 1{,}2325$

Respuesta: $x = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\ln 5}{\ln 3} + 1\right) \approx 1{,}2325$

2. Aplicamos la exponencial para sacar los logaritmos. Como el logaritmo es inyectivo, $x(x - 4) = 5$.

3. Resolvemos la cuadrática. $x^{2} - 4x - 5 = 0$, que se factoriza como $(x - 5)(x + 1) = 0$ y da $x = 5$ y $x = -1$.

4. Verificamos contra el dominio original. El planteo pedía $x > 0$ y $x - 4 > 0$, o sea $x > 4$. $x = 5$ cumple, pero $x = -1$ no: aplicar la exponencial generó una solución falsa que hay que descartar.

Respuesta: la única solución es $x = 5$

2. Despejamos la potencia. $3^{t} = \dfrac{8000}{250} = 32$

3. Aplicamos logaritmo a los dos lados. $t\ln 3 = \ln\left(32\right)$, entonces $t = \dfrac{\ln\left(32\right)}{\ln 3}$.

4. Calculamos. $t \approx 3{,}1546$ años. El resultado no es entero, y eso es lo esperable: la población alcanza ese valor en algún momento entre dos años.

Respuesta: $t = \dfrac{\ln\left(32\right)}{\ln 3} \approx 3{,}1546$ años