Ejercicios: Función logarítmica

\log_{a} x = y

significa aʸ

= x

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Calculá $\log_{2} 64$ y $\log_{2} \dfrac{1}{4}$ usando la definición.

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1. Planteamos la pregunta del primero. El logaritmo pregunta a qué exponente hay que elevar $2$ para obtener $64$ .

2. Probamos potencias. $2^{2} = 4$ y así hasta $2^{6} = 64$ , así que el resultado es $6$ .

3. Planteamos la pregunta del segundo. Ahora hay que obtener $\dfrac{1}{4}$ , que es menor que uno.

4. Usamos exponentes negativos. $2^{-2} = \dfrac{1}{4}$ , así que el resultado es $-2$ . Los argumentos entre cero y uno dan logaritmos negativos.

Respuesta: $\log_{2} 64 = 6$ y $\log_{2} \dfrac{1}{4} = -2$

2. Hallá el dominio de $f(x) = \log(6 x - 18)$ .

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1. Planteamos la condición. El argumento de un logaritmo tiene que ser estrictamente positivo.

2. Escribimos la inecuación. $6 x - 18 > 0$

3. Despejamos. $6x > 18$ , entonces $x > 3$ .

4. Escribimos el dominio. El valor $3$ queda afuera: ahí el argumento vale cero y el logaritmo no existe. Es la diferencia con la raíz cuadrada, donde el extremo sí entra.

Respuesta: el dominio es $(3, +\infty)$

3. Desarrollá $\log\left(\dfrac{7x^{2}}{5}\right)$ usando las propiedades.

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1. Aplicamos la del cociente. $\log\left(\dfrac{7x^{2}}{5}\right) = \log(7x^{2}) - \log 5$

2. Aplicamos la del producto. $\log(7x^{2}) = \log 7 + \log x^{2}$

3. Aplicamos la de la potencia. $\log x^{2} = 2\log x$ : el exponente baja multiplicando.

4. Juntamos todo. Queda $\log 7 + 2\log x - \log 5$ . Vale para $x > 0$ , que es el dominio del logaritmo original.

Respuesta: $\log 7 + 2\log x - \log 5$

4. Hallá la asíntota vertical, el dominio y el corte con el eje $x$ de $f(x) = \log_{3}(x - 5) - 2$ .

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1. Planteamos el dominio. El argumento tiene que ser positivo: $x - 5 > 0$ , o sea $x > 5$ .

2. Ubicamos la asíntota vertical. Está en el borde del dominio, donde el argumento se hace cero: la recta $x = 5$ . El corrimiento se llevó la asíntota de $x = 0$ a $x = 5$ .

3. Planteamos el corte con el eje $x$ . $\log_{3}(x - 5) - 2 = 0$ , o sea $\log_{3}(x - 5) = 2$ .

4. Despejamos con la definición. $x - 5 = 3^{2} = 9$ , entonces $x = 14$ . La imagen sigue siendo todo $\mathbb{R}$ : el corrimiento vertical no la cambia.

Respuesta: asíntota $x = 5$ , dominio $(5, +\infty)$ , corta el eje $x$ en $(14, 0)$

5. Calculá $\log_{5} 125$ y $\log_{5} \dfrac{1}{25}$ usando la definición.

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1. Planteamos la pregunta del primero. El logaritmo pregunta a qué exponente hay que elevar $5$ para obtener $125$ .

2. Probamos potencias. $5^{2} = 25$ y así hasta $5^{3} = 125$ , así que el resultado es $3$ .

3. Planteamos la pregunta del segundo. Ahora hay que obtener $\dfrac{1}{25}$ , que es menor que uno.

4. Usamos exponentes negativos. $5^{-2} = \dfrac{1}{25}$ , así que el resultado es $-2$ . Los argumentos entre cero y uno dan logaritmos negativos.

Respuesta: $\log_{5} 125 = 3$ y $\log_{5} \dfrac{1}{25} = -2$

6. Hallá el dominio de $f(x) = \log(x^{2} - 9)$ .

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1. Planteamos la condición. $x^{2} - 9 > 0$

2. Factorizamos. $(x - 3)(x + 3) > 0$

3. Estudiamos el signo del producto. Es positivo cuando los dos factores comparten signo, o sea afuera del intervalo $[-3, 3]$ .

4. Escribimos el dominio. Los extremos no entran, porque ahí el argumento vale cero.

Respuesta: el dominio es $(-\infty, -3) \cup (3, +\infty)$

7. Calculá $\log_{2} 8 + \log_{2} 2 - \log_{2} 1$ usando las propiedades.

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1. Resolvemos el primero por definición. $\log_{2} 8 = 3$ , porque $2^{3} = 8$ .

2. Resolvemos el segundo. $\log_{2} 2 = 1$ , porque $2^{1} = 2$ .

3. Resolvemos el tercero. $\log_{a} 1 = 0$ para cualquier base, porque toda base elevada a cero da uno.

4. Sumamos. $3 + 1 - 0 = 4$

Respuesta: $4$

8. Hallá la asíntota vertical, el dominio y el corte con el eje $x$ de $f(x) = \log_{2}(x + 4) + 3$ .

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1. Planteamos el dominio. El argumento tiene que ser positivo: $x + 4 > 0$ , o sea $x > -4$ .

2. Ubicamos la asíntota vertical. Está en el borde del dominio, donde el argumento se hace cero: la recta $x = -4$ . El corrimiento se llevó la asíntota de $x = 0$ a $x = -4$ .

3. Planteamos el corte con el eje $x$ . $\log_{2}(x + 4) + 3 = 0$ , o sea $\log_{2}(x + 4) = -3$ .

4. Despejamos con la definición. $x + 4 = 2^{-3} = \dfrac{1}{8}$ , entonces $x = - \dfrac{31}{8}$ . La imagen sigue siendo todo $\mathbb{R}$ : el corrimiento vertical no la cambia.

Respuesta: asíntota $x = -4$ , dominio $(-4, +\infty)$ , corta el eje $x$ en $(- \dfrac{31}{8}, 0)$

9. Calculá $\log_{2} 32$ y $\log_{2} \dfrac{1}{4}$ usando la definición.

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1. Planteamos la pregunta del primero. El logaritmo pregunta a qué exponente hay que elevar $2$ para obtener $32$ .

2. Probamos potencias. $2^{2} = 4$ y así hasta $2^{5} = 32$ , así que el resultado es $5$ .

3. Planteamos la pregunta del segundo. Ahora hay que obtener $\dfrac{1}{4}$ , que es menor que uno.

4. Usamos exponentes negativos. $2^{-2} = \dfrac{1}{4}$ , así que el resultado es $-2$ . Los argumentos entre cero y uno dan logaritmos negativos.

Respuesta: $\log_{2} 32 = 5$ y $\log_{2} \dfrac{1}{4} = -2$

10. Hallá el dominio de $f(x) = \ln(21 - 7 x)$ .

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1. Planteamos la condición. $21 - 7 x > 0$

2. Pasamos el término con $x$ . $21 > 7x$

3. Despejamos. Dividimos por $7$ , positivo, así que la desigualdad se mantiene: $x < 3$ .

4. Escribimos el dominio. El extremo queda afuera por ser condición estricta.

Respuesta: el dominio es $(-\infty, 3)$

11. Escribí $4\log x + \log 2 - \log 3$ como un solo logaritmo.

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1. Aplicamos la propiedad de la potencia al revés. $4\log x = \log x^{4}$ : el factor sube como exponente.

2. Aplicamos la del producto. $\log x^{4} + \log 2 = \log(2x^{4})$

3. Aplicamos la del cociente. Restar un logaritmo es dividir: $\log\left(\dfrac{2x^{4}}{3}\right)$ .

4. Chequeamos el dominio. La expresión final tiene sentido para $x > 0$ , igual que la original.

Respuesta: $\log\left(\dfrac{2x^{4}}{3}\right)$

12. Hallá la asíntota vertical, el dominio y el corte con el eje $x$ de $f(x) = \log_{3}(x + 2) + 2$ .

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1. Planteamos el dominio. El argumento tiene que ser positivo: $x + 2 > 0$ , o sea $x > -2$ .

2. Ubicamos la asíntota vertical. Está en el borde del dominio, donde el argumento se hace cero: la recta $x = -2$ . El corrimiento se llevó la asíntota de $x = 0$ a $x = -2$ .

3. Planteamos el corte con el eje $x$ . $\log_{3}(x + 2) + 2 = 0$ , o sea $\log_{3}(x + 2) = -2$ .

4. Despejamos con la definición. $x + 2 = 3^{-2} = \dfrac{1}{9}$ , entonces $x = - \dfrac{17}{9}$ . La imagen sigue siendo todo $\mathbb{R}$ : el corrimiento vertical no la cambia.

Respuesta: asíntota $x = -2$ , dominio $(-2, +\infty)$ , corta el eje $x$ en $(- \dfrac{17}{9}, 0)$

Integradores de Funciones: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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